Antecedentes

Se puede demostrar que para cualquier número entero k >= 0, f(k) = tan(atan(0) + atan(1) + atan(2) + ... + atan(k))es un número racional.

Objetivo

Escriba un programa o función completa que, cuando se proporciona k >= 0, se genera f(k)como una fracción reducida única (el numerador y el denominador son coprimos).

Casos de prueba

Los primeros pocos valores son

f(0) = (0,1)
f(1) = (1,1)
f(2) = (-3,1)
f(3) = (0,1)
f(4) = (4,1)
f(5) = (-9,19)
f(6) = (105,73)

Reglas

• Las lagunas estándar están prohibidas.
• La entrada y salida pueden estar en cualquier formato conveniente. Puede generar f(k)una cadena numerator/denominator, como una tupla de dos enteros, una fracción u objeto racional, etc. Si genera una cadena, dé solo dos enteros, es decir, la salida en 3/2lugar de 1 1/2.
• Este es el código de golf, gana la respuesta más corta (en bytes).

M , 11 bytes

×C÷@+
R0;ç/

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Utiliza la fórmula OEIS x(n) = (x(n-1)+n)/(1-n*x(n-1))con x(0) = 0.

Mathematica, 28 bytes

Fold[+##/(1-##)&,0,Range@#]&

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Un enfoque más largo pero más interesante (32 bytes):

Im@#/Re@#&@Product[1+n I,{n,#}]&

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Python 2 ,76 72 bytes

from fractions import*
f=lambda k:Fraction(k and(k+f(k-1))/(1-k*f(k-1)))

Usa la identidad:

tan(A + B) = (tan(A) + tan(B)) / (1 - tan(A) * tan(B))

Tenemos:

f(k) = 0                                    if k = 0
     = (k + f(k - 1)) / (1 - k * f(k - 1))  if k > 0

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Gracias a Luis Mendo, ahorre 4 bytes.

APL (Dyalog) , 14 bytes

Requiere ⎕FR←1287( 128 bit F loating punto R ePresentation) para la pequeña entrada. Toma kcomo argumento correcto.

1(∧÷,)3○¯3+.○⍳

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⍳ enteros uno a través k(cero no es necesario como 0 = arctan 0)

¯3+.○ suma de tangentes arcus

3○ tangente

1(... ) aplique la siguiente función tácita con 1 como argumento izquierdo y lo anterior como argumento derecho:

 ∧ el múltiplo común más bajo (de 1 y el argumento correcto); da el numerador

 ÷ dividido por

 , la concatenación (de 1 y el argumento correcto); da el numerador y el denominador

Haskell , 52 bytes

Esto utiliza la expansión de la serie OEIS:

import Data.Ratio
f 0=0%1
f n|p<-f$n-1=(p+n)/(1-n*p)

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O una versión sin puntos:

(scanl1(\f n->(f+n)/(1-n*f))[0%1..]!!)

JavaScript (ES6), 80 bytes

f=n=>n?([a,b]=f(n-1),g=(a,b)=>a?g(b%a,a):b,c=g(d=b*n+a,e=b-n*a),[d/c,e/c]):[0,1]

Devuelve un par [numerador, denominador]. Explicación: Let f(n-1) = a/bentonces f(n) = atan(tan(n)+tan(a/b)) = (n+a/b)/(1-n*a/b) = (b*n+a)/(b-n*a). Luego queda reducir la fracción a sus términos más bajos.

Entorno ES6 en línea

Pari / GP , 36 bytes

n->imag(x=prod(i=0,n,1+i*I))/real(x)

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O la misma longitud:

n->fold((x,y)->(x+y)/(1-x*y),[0..n])

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05AB1E , 33 26 bytes

0X)Iƒ©`N*+®`sN*-‚D¿D_i\¤}/

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Explicación

0X)                          # initialize stack with [0,1]
   Iƒ                        # for N in range [0 ... input] do:
     ©                       # store a copy of the current pair in the register
      `                      # push the pair separately to the stack
       N*                    # multiply the denominator with N
         +                   # add the numerator
          ®`s                # push the denominator then the numerator to the stack
             N*              # multiply the numerator by N
               -             # subtract it from the denominator
                D¿D          # get 2 copies of the greatest common divisor
                   0Qi  }    # if the gcd equals 0
                      \¤     # replace it with the denominator
                         /   # divide the pair with this number

Octava , 30 bytes

format rat
tan(sum(atan(0:k)))

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Casio-Basic, 35 bytes

tExpand(tan(sum(seq(tan⁻¹(n),n,0,k

tan ^-1 debe ingresarse como el del teclado Trig; o ^-1 puede ingresarse por separado desde el teclado abc> Math. Según el manual del fx-CP400, es un solo carácter de dos bytes (764).

Función, 34 bytes para el código, +1 byte para agregar kcomo argumento.

Explicación

seq(tan-1(n),n,0,k)genera todos los valores tan-1(n)de 0 a k.

sumlos agrega todos juntos, luego tanrealiza la función tangente en ellos.

tExpand luego los convertirá en una sola fracción.

Julia 0.6.0 40 bytes

k->rationalize(tan(sum(x->atan(x),1:k)))

Es una implementación directa de la pregunta. La precisión de racionalizar a veces puede ser extraña, pero funciona bien el 99% del tiempo.