Digamos que tenemos una red n × n ; entonces podemos dividir la red en dos secciones dibujando una línea a través de la red. Todo a un lado de la línea está en un conjunto y todo lo demás en otro.

¿De cuántas maneras podemos dividir la red de la manera?

Por ejemplo, tomemos una red 2 × 2 :

. .
. .

Podemos hacer 2 particiones dividiendo la red por la mitad así:

× ×    × o
o o    × o

También podemos dividir cada una de las esquinas:

× o    o ×    o o    o o
o o    o o    × o    o ×

Por último, podemos poner todos los puntos en una partición al perder la red por completo:

× ×
× ×

Esto hace un total de 7 particiones. Tenga en cuenta que la siguiente partición no es válida porque no se puede hacer con una sola línea recta.

× o
o ×

Aquí hay una red 3 × 3

. . .
. . .
. . .

Hay 4 particiones puramente horizontales o verticales

× × ×    × × ×    × o o    × × o
× × ×    o o o    × o o    × × o
o o o    o o o    × o o    × × o

Hay 4 particiones de esquina

× o o    o o ×    o o o    o o o    
o o o    o o o    o o o    o o o
o o o    o o o    o o ×    × o o

Hay 4 particiones de esquina más grandes

× × o    o × ×    o o o    o o o
× o o    o o ×    o o ×    × o o
o o o    o o o    o × ×    × × o

Hay 8 particiones de esquinas parciales

× × o    o × ×    o o ×    o o o    o o o    o o o    o o o    × o o
o o o    o o o    o o ×    o o ×    o o o    o o o    × o o    × o o
o o o    o o o    o o o    o o ×    o × ×    × × o    × o o    o o o

Hay 8 divisiones de movimiento de caballeros

× × o    o × ×    × × ×    o o o    o o ×    × o o    o o o    × × ×
× o o    o o ×    o o ×    o o ×    o o ×    × o o    × o o    × o o
× o o    o o ×    o o o    × × ×    o × ×    × × o    × × ×    o o o

Y hay una partición completa

× × ×
× × ×
× × ×

Eso hace 29 particiones en total.

Tarea

Dado un número n como entrada, genera el número de particiones que se pueden hacer de esta manera de una red n × n .

Esta es una pregunta de código de golf , por lo que las respuestas se puntuarán en bytes, con menos bytes mejor.

Casos de prueba

Aquí están los primeros 34 cortesía de la OEIS:

1, 7, 29, 87, 201, 419, 749, 1283, 2041, 3107, 4493, 6395, 8745, 11823, 15557, 20075, 25457, 32087, 39725, 48935, 59457, 71555, 85253, 101251, 119041, 139351, 161933, 187255, 215137, 246691, 280917, 319347, 361329, 407303

OEIS A114043

JavaScript (ES6), 113 111 bytes

Guardado 2 bytes gracias a guest44851

0 indexado.

n=>[...Array(n)].map((_,i,a)=>a.map((_,j)=>x+=(g=(a,b)=>b?g(b,a%b):a<2&&(n-i-1)*(n-j))(i+1,++j)),x=n*++n)|x+x+1

Basado en la fórmula mencionada en OEIS:

Sea V (m, n) = Suma_ {i = 1..m, j = 1..n, mcd (i, j) = 1} (m + 1-i) (n + 1-j)
a (n +1) = 2 (n ² + n + V (n, n)) + 1

Manifestación

let f =

n=>[...Array(n)].map((_,i,a)=>a.map((_,j)=>x+=(g=(a,b)=>b?g(b,a%b):a<2&&(n-i-1)*(n-j))(i+1,++j)),x=n*++n)|x+x+1

for(n = 0; n < 50; n++) {
  console.log('f(' + n + ') = ' + f(n));
}

Python 2 , 116 bytes

lambda n:2*(~-n*n+sum((n-i)*(n-j)*g(i,j)for i in range(1,n)for j in range(1,n)))+1
g=lambda x,y:y and g(y,x%y)or x<2

Pruébalo en línea!

Jalea , 14 bytes

ạþ`Fgþ`FỊS_²H‘

Pruébalo en línea!

Explicación

ạþ`Fgþ`FỊS_²H‘  Input: integer n
ạþ`             Form the table of absolute differences on [1, 2, ..., n]
   F            Flatten
    gþ`         Form a GCD table on that
       F        Flatten
        Ị       Test if the absolute value of each is <= 1
         S      Sum (Count the number of true's)
          _     Subtract
           ²    Square of n
            H   Halve
             ‘  Increment

Mathematica, 59 bytes

2Sum[(#-i)(#-j)Boole[i~GCD~j<2],{i,#-1},{j,#-1}]+2#^2-2#+1&

cortesía de la OEIS (al igual que la pregunta)

-1 byte de @ovs

Pruébalo en línea!

Python 2, 90 bytes

lambda n:4*n*n-6*n+3+4*sum((n-i)*(n-k/i)for i in range(n)for k in range(i*i)if k/i*k%i==1)