Dado un polinomio distinto de cero con coeficientes enteros y raíces que están en el imaginario y en la línea real de modo que si aes una raíz, entonces también lo es -a, devuelve otro polinomio con las raíces giradas 90 grados.

Detalles

El polinomio se puede dar en cualquier formato razonable, por ejemplo, como una lista de coeficientes. La condición de simetría que aes una raíz si y solo si -aes una raíz también impone que el polinomio girado tenga también coeficientes enteros reales.

Ejemplos

A continuación, los polinomios se dan como una lista de coeficientes de los monomios en grado descendente. (es decir, la constante viene al final) El polinomio x^2-1tiene raíces {1,-1}. Girándolos 90°multiplicando por i(la unidad imaginaria), por lo que el polinomio de salida debe tener las raíces {i,-i}, que es x^2 + 1.

Input / Output
[1 0 10 0 -127 0 -460 0 576]  [1 0 -10 0 -127 0 460 0 576]
[1 0 -4 0] [1 0 4 0]
[1] [1]

Mathematica, 10 Bytes

Función pura que toma una función de x y sustituye en ix.

#/.x->I*x&

Alternativa con solo 7 bytes, pero no estoy seguro de si cuenta. Función pura que toma una función pura y devuelve una función de x.

#[I*x]&

Jalea , 5 bytes

Jı*Ċ×

Pruébalo en línea!

Cómo funciona

Multiplica el primer elemento por 1, el tercer elemento por -1, etc.

Jı*Ċ×  argument: z
J      [1,2,...,len(z)]
 ı     i (the imaginary unit)
  *    to the power of (each element)
   Ċ   imaginary part
    ×  multiply by input (vectorize)

Prueba de algoritmo

Deja que el polinomio sea f(x).

Dado que tenemos la garantía de que si xes una raíz, entonces también lo es -x, fdebe ser par, lo que significa que su coeficiente para las potencias impares debe ser 0.

Ahora, rotar las raíces 90°es esencialmente f(ix).

Expandir y luego comparar coeficientes prueba el algoritmo.

JavaScript (ES6), 25 bytes

a=>a.map((e,i)=>i%4?-e:e)

El polinomio original tiene soluciones de la forma x = ±aen la que a se encuentra en la línea real o imaginaria. Excepto cuando a = 0(en cuyo caso xes un factor del polinomio), esto significa que x² - a²es un factor del polinomio (lo que significa que los términos alternativos son siempre cero). Ahora, cuando rotamos las raíces, el factor cambia a x² + a². Como todos los factores cambian al mismo tiempo, el tercer término del polinomio, que es la suma de todos los -a²términos, cambia de signo, el quinto término, que es la suma de productos de pares de -a²términos, mantiene el mismo signo, etc. alternando cada dos términos.

Octava , 27 bytes

@(x)round(poly(roots(x)*j))

Pruébalo en línea!

Esto aplica directamente la definición: calcular raíces, multiplicar por j, volver a convertir de raíces a polinomios. Es necesario un redondeo final debido a errores numéricos de punto flotante.

Python 3 , 42 bytes

f=lambda x,s=1:x and[0,x[0]*s]+f(x[2:],-s)

Pruébalo en línea!

SILOS , 71 66 bytes

readIO
b=i
lbla
readIO
d=c
d&2
i=i*(1-d)
printInt i
b-1
c+1
if b a

Pruébalo en línea!

No tengo idea de qué hechicería @Leaky Nun hizo aquí para guardar 5 bytes.

Me tomó un segundo averiguarlo, pero el segundo bit de C se alternará como queramos. Por lo tanto, @Leaky Nun explotó esto para guardar los bits que necesitamos.

TI-Basic, 20 bytes

seq(real(i^X/i)Ans(X),X,1,dim(Ans

Si se almacena en prgmA, ejecutar con:

{1, 0, 3, 0, 1}:prgmA

seq(solo tenía que ser el comando one * que no admite números complejos. :)

_{*: Exageración}

Casio-Basic, 8 bytes

n|x=𝑖x

Función sin nombre, utilizando el enfoque de Mathematica de Ian Miller. Se debe usar el inary imaginario del teclado Math2 (cuenta como 2 bytes, código char 769), y el polinomio se debe ingresar como una ecuación de x.

7 bytes para el código, 1 byte para especificar ncomo parámetro.

Explicación : Toma la ecuación n, luego simplemente reemplaza todas las instancias de xcon 𝑖x.

Pari / GP , 16 bytes

p->x=I*x;eval(p)

Pruébalo en línea!

Stax , 5 bytes

Æ[]▐↨

¡Ejecute y depure en línea!

La respuesta de Port of the Jelly.

Utiliza representación ASCII para explicar:

mih|1*
m         Map each element with rest of program, print mapped results on individual lines
 i        Current 0-based loop index
  h       Floor(i/2)
   |1     (-1)^(i/2)
     *    Multiply with current element

Si puede haber ceros a la izquierda, primero deben recortarse y se puede hacer a costa de otro byte.