Nos gustaría que factorizar un semiprimo . El objetivo de este reto es encontrar dos enteros pequeños y tal que puede ser trivialmente factorized con el método de Fermat, lo que permite deducir fácilmente los factores de . $N$ $u$ $v$ $uvN$ $N$

La tarea

Dado un semiprime y un entero positivo , definimos e como: $N$ $k$ $x$ $y$

X = ⌈ \sqrt{k norte} ⌉

$x=\lceil\sqrt{kN}\rceil$

y = X^{2} - k norte

$y=x^2-kN$

Paso # 1 - Encuentra $k$

Primero debe encontrar el valor más pequeño posible de modo que sea un número cuadrado ( también conocido como cuadrado perfecto). $k$ $y$

Esto permite factorizar con una sola iteración del método de factorización de Fermat . Más concretamente, esto lleva inmediatamente a: $kN$

k norte = (X + \sqrt{y}) \times (X - \sqrt{y})

$kN=(x+\sqrt{y})\times(x-\sqrt{y})$

(Actualización: esta secuencia ahora se publica como A316780 )

Paso # 2 - Factoriza $k$

Luego debe encontrar los dos enteros positivos y manera que: $u$ $v$

tu v = k

$uv=k$

C tu = X + \sqrt{y}

$cu=x+\sqrt{y}$

re v = X - \sqrt{y}

$dv=x-\sqrt{y}$

donde y son los factores primos de . $c$ $d$ $N$

Resumen

Su tarea es escribir un programa o función que tome como entrada e imprima o salga y en cualquier orden y en cualquier formato razonable. $N$ $u$ $v$

Ejemplo

Consideremos $N = 199163$

Paso 1

El valor más pequeño posible de es , lo que da: $k$ $40$

X = ⌈ (\sqrt{40 \times 199163}) ⌉ = 2823

$x = \lceil(\sqrt{40 \times 199163})\rceil = 2823$

y = 2823^{2} - 40 \times 199163 = 7969329 - 7966520 = 2809 = 53^{2}

$y = 2823^2 - 40 \times 199163 = 7969329 - 7966520 = 2809 = 53^2$

k norte = (2823 + 53) \times (2823 - 53)

$kN = (2823 + 53) \times (2823 - 53)$

k norte = 2876 \times 2770

$kN = 2876 \times 2770$

Paso 2

La factorización correcta de es , porque: $k$ $k = 4 \times 10$

k norte = 2876 \times 2770

$kN = 2876 \times 2770$

k norte = (719 \times 4 4) \times (277 \times 10)

$kN = (719 \times 4) \times (277 \times 10)$

norte = 719 \times 277

$N = 719 \times 277$

$[ 4, 10 ]$ $[ 10, 4 ]$

Reglas

$u$ $v$
$uvN$
La entrada está garantizada como semiprime.
Este es el código de golf, por lo que gana la respuesta más corta en bytes.
Las lagunas estándar están prohibidas.

Casos de prueba

N          | k    | Output
-----------+------+------------
143        | 1    | [   1,  1 ]
2519       | 19   | [   1, 19 ]
199163     | 40   | [   4, 10 ]
660713     | 1    | [   1,  1 ]
4690243    | 45   | [   9,  5 ]
11755703   | 80   | [  40,  2 ]
35021027   | 287  | [   7, 41 ]
75450611   | 429  | [ 143,  3 ]
806373439  | 176  | [   8, 22 ]
1355814601 | 561  | [  17, 33 ]
3626291857 | 77   | [   7, 11 ]
6149223463 | 255  | [  17, 15 ]
6330897721 | 3256 | [  74, 44 ]

Implementación de ejemplo

$f$ $N$ $u$ $v$

$g$ $N$ $u$ $v$ $N$ $O(1)$

Mostrar fragmento de código

f = N => {
  for(k = 1;; k++) {
    x = Math.ceil(Math.sqrt(k * N));
    y = x * x - k * N;
    ySqrt = Math.round(Math.sqrt(y));
    
    if(ySqrt * ySqrt == y) {
      p = x + ySqrt;

      for(u = 1;; u++) {
        if(!(p % u) && !(N % (p / u))) {
          v = k / u;
          return [ u, v ];
        }
      }
    }
  }
}

g = (N, u, v) => {
  x = Math.ceil(Math.sqrt(u * v * N));
  y = x * x - u * v * N;
  ySqrt = Math.round(Math.sqrt(y));
  p = x + ySqrt;
  q = x - ySqrt;
  return [ p / u, q / v ];
}

[
  143, 2519, 199163, 660713, 4690243, 11755703,
  35021027, 75450611, 806373439, 1355814601,
  3626291857, 6149223463, 6330897721
]
.map(N => {
  [u, v] = f(N);
  [c, d] = g(N, u, v);
  console.log(
    'N = ' + N + ', ' +
    'u = ' + u + ', ' +
    'v = ' + v + ', ' +
    'N = ' + c + ' * ' + d
  );
});

Expandir fragmento

code-golf number-theory primes

— Arnauld
fuente

¿Estamos garantizados que la entrada Nserá de hecho un semiprime?

— Greg Martin

@ GregMartin Sí, lo eres.

— Arnauld

8

Mathematica, 81 79 bytes

¡Gracias a Martin Ender por guardar 2 bytes!

(c=Ceiling;For[j=0;z=E,c@z>z,p=(x=c@Sqrt[j+=#])+{z=Sqrt[x^2-j],-z}];p/#~GCD~p)&

Función pura que toma un semiprime como entrada y devuelve un par ordenado de enteros positivos. El Forbucle implementa el procedimiento exacto descrito en la pregunta (usando #para la entrada en lugar de n), xtal como se define allí, aunque almacenamos en j = k*nlugar de ksí mismo y en z=Sqrt[y]lugar de ysí mismo. También calculamos p={x+z,x-z}dentro del Forciclo, que termina guardando un byte (como en el séptimo intento). Entonces los dos factores deseados son (x+z)/GCD[#,x+z]y (x-z)/GCD[#,x-z], que la expresión concisa p/#~GCD~pcalcula directamente como un par ordenado.

Curiosidades: queremos hacer un bucle hasta que zsea un número entero; pero como lo vamos a usar Ceilingen el código, guarda dos bytes !IntegerQ@zpara definir c=Ceiling(lo que cuesta cuatro bytes, como saben los golfistas de Mathematica) y luego prueba si c@z>z. Tenemos que inicializar za algo, y es mejor que algo no sea un número entero para que el ciclo pueda comenzar; Afortunadamente, Ees una elección concisa.

— Greg Martin
fuente

4

JavaScript (ES7), 86 81 bytes

n=>(g=k=>(y=(n*k)**.5+1|0,y+=(y*y-n*k)**.5)%1?g(k+1):n*u++%y?g(k):[--u,k/u])(u=1)

Editar: Guardado 4 bytes gracias a @Arnauld.

— Neil
fuente

4

Python 2, 127 121 117 111 107 104 101 99 bytes

-1 byte gracias a Neil y -3 bytes gracias a ovs

N=input()
k=u=1;p=m=.5
while p%1:p=1+(k*N)**m//1;p+=(p*p-k*N)**m;k+=1
while N*u%p:u+=1
print~-k/u,u

Pruébalo en línea!

Curiosidades:

pse inicializa para .5que la condición del bucle sea verdadera en la primera iteración. Tenga en cuenta que es más corto almacenar p(como x+ sqrt(y)) que almacenar cada uno de ellos xy por yseparado.

— adicto a las matemáticas
fuente

x*xen lugar de x**2?

— Neil

@Neil Sí, por supuesto. Gracias

— adicto a las matemáticas

1

Axioma, 131115 bytes

v(x)==floor(x^.5)::INT;r(n)==(k:=0;repeat(k:=k+1;x:=1+v(k*n);y:=v(x*x-k*n);x^2-y^2=k*n=>break);[w:=gcd(k,x+y),k/w])

La función que resolvería la pregunta es r (n) arriba. ungolf y prueba

vv(x)==floor(x^.5)::INT    

--(x-y)*(x+y)=k*n
rr(n)==
  k:=0
  repeat
     k:=k+1
     x:=1+vv(k*n)
     y:=vv(x*x-k*n)
     x^2-y^2=k*n=>break
  [w:=gcd(k,x+y),k/w]


(4) -> [[i,r(i)] for i in [143,2519,199163,660713,4690243,11755703]]
   (4)
   [[143,[1,1]], [2519,[1,19]], [199163,[4,10]], [660713,[1,1]],
    [4690243,[9,5]], [11755703,[40,2]]]
                                                      Type: List List Any

— RosLuP
fuente

Ayudante de factorización de Fermat