Python 2.7
Este enfoque aprovecha las siguientes consideraciones:
Cualquier número entero puede representarse como una suma de potencias de dos. Los exponentes en las potencias de dos también se pueden representar como potencias de dos. Por ejemplo:
8 = 2^3 = 2^(2^1 + 2^0) = 2^(2^(2^0) + 2^0)
Estas expresiones con las que terminamos se pueden representar como conjuntos de conjuntos (en Python, utilicé el incorporado frozenset):
0se convierte en el conjunto vacío {}.2^ase convierte en el conjunto que contiene el conjunto que representa a. Por ejemplo: 1 = 2^0 -> {{}}y 2 = 2^(2^0) -> {{{}}}.a+bse convierte en la concatenación de los conjuntos que representan ay b. P.ej,3 = 2^(2^0) + 2^0 -> {{{}},{}}
Resulta que las expresiones de la forma 2^2^...^2pueden transformarse fácilmente en su representación de conjunto única, incluso cuando el valor numérico es demasiado grande para ser almacenado como un entero.
Para n=20, esto se ejecuta en 8.7s en CPython 2.7.5 en mi máquina (un poco más lento en Python 3 y mucho más lento en PyPy):
"""Analyze the expressions given by parenthesizations of 2^2^...^2.
Set representation: s is a set of sets which represents an integer n. n is
given by the sum of all 2^m for the numbers m represented by the sets
contained in s. The empty set stands for the value 0. Each number has
exactly one set representation.
In Python, frozensets are used for set representation.
Definition in Python code:
def numeric_value(s):
n = sum(2**numeric_value(t) for t in s)
return n"""
import itertools
def single_arg_memoize(func):
"""Fast memoization decorator for a function taking a single argument.
The metadata of <func> is *not* preserved."""
class Cache(dict):
def __missing__(self, key):
self[key] = result = func(key)
return result
return Cache().__getitem__
def count_results(num_exponentiations):
"""Return the number of results given by parenthesizations of 2^2^...^2."""
return len(get_results(num_exponentiations))
@single_arg_memoize
def get_results(num_exponentiations):
"""Return a set of all results given by parenthesizations of 2^2^...^2.
<num_exponentiations> is the number of exponentiation operators in the
parenthesized expressions.
The result of each parenthesized expression is given as a set. The
expression evaluates to 2^(2^n), where n is the number represented by the
given set in set representation."""
# The result of the expression "2" (0 exponentiations) is represented by
# the empty set, since 2 = 2^(2^0).
if num_exponentiations == 0:
return {frozenset()}
# Split the expression 2^2^...^2 at each of the first half of
# exponentiation operators and parenthesize each side of the expession.
split_points = xrange(num_exponentiations)
splits = itertools.izip(split_points, reversed(split_points))
splits_half = ((left_part, right_part) for left_part, right_part in splits
if left_part <= right_part)
results = set()
results_add = results.add
for left_part, right_part in splits_half:
for left in get_results(left_part):
for right in get_results(right_part):
results_add(exponentiate(left, right))
results_add(exponentiate(right, left))
return results
def exponentiate(base, exponent):
"""Return the result of the exponentiation of <operands>.
<operands> is a tuple of <base> and <exponent>. The operators are each
given as the set representation of n, where 2^(2^n) is the value the
operator stands for.
The return value is the set representation of r, where 2^(2^r) is the
result of the exponentiation."""
# Where b is the number represented by <base>, e is the number represented
# by <exponent> and r is the number represented by the return value:
# 2^(2^r) = (2^(2^b)) ^ (2^(2^e))
# 2^(2^r) = 2^(2^b * 2^(2^e))
# 2^(2^r) = 2^(2^(b + 2^e))
# r = b + 2^e
# If <exponent> is not in <base>, insert it to arrive at the set with the
# value: b + 2^e. If <exponent> is already in <base>, take it out,
# increment e by 1 and repeat from the start to eventually arrive at:
# b - 2^e + 2^(e+1) =
# b + 2^e
while exponent in base:
base -= {exponent}
exponent = successor(exponent)
return base | {exponent}
@single_arg_memoize
def successor(value):
"""Return the successor of <value> in set representation."""
# Call exponentiate() with <value> as base and the empty set as exponent to
# get the set representing (n being the number represented by <value>):
# n + 2^0
# n + 1
return exponentiate(value, frozenset())
def main():
import timeit
print timeit.timeit(lambda: count_results(20), number=1)
for i in xrange(21):
print '{:.<2}..{:.>9}'.format(i, count_results(i))
if __name__ == '__main__':
main()
(El concepto del decorador de memorias se copia de http://code.activestate.com/recipes/578231-probably-the-fastest-memoization-decorator-in-the-/ ).
Salida:
8.667753234
0...........1
1...........1
2...........1
3...........2
4...........4
5...........8
6..........17
[...]
19.....688366
20....1619087
Tiempos para diferentes n:
n time
16 0.240
17 0.592
18 1.426
19 3.559
20 8.668
21 21.402
Cualquiera de los nanteriores 21 produce un error de memoria en mi máquina.
Me interesaría si alguien puede hacer esto más rápido traduciéndolo a un idioma diferente.
Editar: Optimizado la get_resultsfunción. Además, usar Python 2.7.5 en lugar de 2.7.2 lo hizo correr un poco más rápido.
2^n, y por lo tanto sería innecesario hacer un seguimiento de cualquier cosa, excepton. Es decir, solo usar las reglas de exponenciación parece sabio. Sin embargo, seguramente hay una forma más inteligente y completamente algebraica de hacer esto.