Escriba un programa o función que, dado un radio entero r, devuelva el número de cuadrados unitarios que atraviesa el círculo con radio r centrado en el origen. Si el círculo pasa exactamente a través de un punto en la cuadrícula que no cuenta como pasar a través de los cuadrados de las unidades adyacentes.

Aquí hay una ilustración para r = 5 :

^{Ilustración de Kival Ngaokrajang, encontrada en OEIS}

Ejemplos:

0 → 0
1 → 4
4 → 28
5 → 28
49 → 388
50 → 380
325 → 2540
5524 → 44180
5525 → 44020

Python 2 , 54 bytes

f=lambda r,x=0:r-x and-~((r*r-x*x)**.5%1>0)*4+f(r,x+1)

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Menos golf (55 bytes) ( TIO )

lambda r:8*r-4*sum((r*r-x*x)**.5%1==0for x in range(r))

Esto estima la salida como 8*r, luego corrige los cruces de vértices. El resultado es 8*r-g(r*r), donde g(x)cuenta el número de formas de escribir xcomo una suma de dos cuadrados (excepto g(0)=0).

Si el círculo nunca atravesara ningún vértice, el número de celdas tocadas sería igual al número de bordes cruzados. El círculo pasa a través de 2*rlíneas verticales y 2*rhorizontales, pasando cada una en ambas direcciones, para un total de 8*r.

Pero, cada cruce en un vértice cuenta como dos cruces de borde mientras solo ingresa a una nueva celda. Entonces, compensamos restando el número de cruces de vértices. Esto incluye los puntos en ejes (r,0)como así como triples pitagóricos como (4,3)para r=5.

Contamos para un solo cuadrante los puntos (x,y)con x>=0y y>0con x*x+y*y==n, luego multiplicamos por 4. Hacemos esto contando los sqrt(r*r-x*x)números que son números enteros xen el intervalo [0,r).

Mathematica, 48 bytes

4Count[Range@#~Tuples~2,l_/;Norm[l-1]<#<Norm@l]&

Mira el primer cuadrante y cuenta el número de celdas de la cuadrícula para las cuales la entrada cae entre las normas de las esquinas inferiores izquierda y superior derecha de la celda (por supuesto, multiplicando el resultado por 4).

Python 2 , 72 bytes

lambda n:sum(0<n*n-x*x-y*y<2*(x-~y)for x in range(n)for y in range(n))*4

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Jalea , 21 13 12 11 bytes

R²ạ²Æ²SạḤ×4

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Cómo funciona

R²ạ²Æ²SạḤ×4  Main link. Argument: r

R            Range; yield [1, 2, ..., r].
 ²           Square; yield [1², 2², ..., r²].
   ²         Square; yield r².
  ạ          Absolute difference; yield [r²-1², r²-2², ..., r²-r²].
    Ʋ       Test if each of the differences is a perfect square.
      S      Sum, counting the number of perfect squares and thus the integer
             solutions of the equation x² + y² = r² with x > 0 and y ≥ 0.
        Ḥ    Un-halve; yield 2r.
       ạ     Subtract the result to the left from the result to the right.
         ×4  Multiply by 4.

Perl 6, 61 bytes

->\r{4*grep {my &n={[+] $_»²};n(1 X+$_)>r²>.&n},(^r X ^r)}

Cómo funciona

->\r{                                                    } # Lambda (accepts the radius).
                                                (^r X ^r)  # Pairs from (0,0) to (r-1,r-1),
                                                           #   representing the bottom-left
                                                           #   corners of all squares in
                                                           #   the top-right quadrant.
       grep {                                 }            # Filter the ones matching:
             my &n={[+] $_»²};                             #   Lambda to calculate the norm.
                              n(1 X+$_)>r²                 #   Top-right corner is outside,
                                          >.&n             #   and bottom-left is inside.
     4*                                                    # Return length of list times 4.

AWK, 90 bytes

{z=$1*$1
for(x=$1;x>=0;x--)for(y=0;y<=$1;y++){d=z-x*x-y*y
if(d>0&&d<2*(x+y)+2)c++}$0=4*c}1

Uso:

awk '{z=$1*$1
    for(x=$1;x>=0;x--)for(y=0;y<=$1;y++){d=z-x*x-y*y
    if(d>0&&d<2*(x+y)+2)c++}$0=4*c}1' <<< 5525

Solo una simple búsqueda a través del cuadrante 1 para encontrar todos los cuadros que se cruzarán con el círculo. La simetría permite la multiplicación por 4. Podría pasar de -$1 to $1, pero eso tomaría más bytes y sería menos eficiente. Obviamente, este no es el algoritmo más eficiente en tiempo, pero solo lleva unos 16 segundos ejecutar el caso 5525 en mi máquina.

Haskell, 74 bytes

f n=sum[4|x<-[0..n],y<-[0..n],(1+n-x)^2+(1+n-y)^2>n^2,(n-x)^2+(n-y)^2<n^2]

Bastante sencillo, cuente el número de cuadrados entre (0,0) y (n, n) donde la parte inferior izquierda está dentro del círculo y la parte superior derecha está fuera del círculo, luego multiplique por 4.

Pyth , 29 bytes

Lsm*ddb*4lf}*QQrhyTym+1dT^UQ2

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Explicación

Lsm*ddb*4lf}*QQrhyTym+1dT^UQ2  # implicit input: Q
Lsm*ddb                        # define norm function
 s                             # sum
  m   b                        #     map each coordinate to
   *dd                         #                            its square
                         ^UQ2  # cartesian square of [0, 1, ..., Q - 1]
                               #     -> list of coordinates of all relevant grid points
          f                    # filter the list of coordinates T where:
           }*QQ                # square of Q is in
               r               #     the range [
                hyT            #         1 + norm(T),
                               #                  ^ coordinate of lower left corner
                   ym+1dT      #         norm(map({add 1}, T))
                               #              ^^^^^^^^^^^^^^^ coordinate of upper right corner
                               #     ) <- half-open range
         l                     # size of the filtered list
                               #     -> number of passed-through squares in the first quadrant
       *4                      # multiply by 4
                               # implicit print

Lote, 147 bytes

@set/an=0,r=%1*%1
@for /l %%i in (0,1,%1)do @for /l %%j in (0,1,%1)do @set/a"i=%%i,j=%%j,a=i*i+j*j-r,i+=1,j+=1,a&=r-i*i-j*j,n-=a>>31<<2
@echo %n%

Algo inspirado por las respuestas de AWK y Haskell.

Bash + Unix utilidades, 127 bytes

c()(d=$[(n/r+$1)**2+(n%r+$1)**2-r*r];((d))&&echo -n $[d<0])
r=$1
bc<<<`for((n=0;n<r*r;n++));{ c 0;c 1;echo;}|egrep -c 01\|10`*4

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Simplemente revise todos los puntos en el primer cuadrante, cuéntelos y multiplique por 4. Puede ser muy lento, pero funciona.

JavaScript (ES7), 76 bytes

n=>4*(G=k=>k<n?Math.ceil((n**2-k++**2)**0.5)-(0|(n**2-k**2)**0.5)+G(k):0)(0)