Creo que se supone que las piezas de ajedrez constituyen un ejército. Trataré de desglosar cómo evolucionó cada nombre individual.
Xianqi , o ajedrez chino, se desarrolló originalmente en India antes de extenderse por todo el mundo. Xianqi es la interpretación china del juego antiguo, y las piezas realmente suenan como las que estarían en un ejército: general, asesor, cañón, elefante, caballos, soldados y carros.
Cuando el juego se mudó a Persia, según lo mencionado por el usuario Akavall en los comentarios, la palabra persa para carro es "rokh" y es naturalmente como se llama la pieza hoy.
La interpretación moderna del ajedrez tiene sus raíces en España, donde se produjo una de las transformaciones finales. La pieza General se convirtió en el Rey y el Asesor se convirtió en la Reina, ya que estas posiciones eran más familiares en el entorno occidental. Los caballos se convirtieron en caballeros y el elefante en obispo (supongo que esto fue influenciado por el poder de la Iglesia durante esta época). Los soldados se hicieron conocidos como peones (del poun anglo-francés, o peón francés antiguo).
Si desea leer más sobre esto, este enlace podría hacer un mejor trabajo al explicarlo que yo: ¿Cómo obtuvieron sus nombres las piezas de ajedrez?