¿Cuántas de esas posiciones hay? (ajedrez / matemática jaque mate

Estoy interesado en este tipo de posición:

Solo hay 4 piezas en el tablero. Si los blancos van primero, pueden hacer jaque mate en un solo movimiento. Si los negros van primero, pueden hacer jaque mate en un solo movimiento. Por ejemplo:

La pregunta es: ¿Cuántas de esas posiciones hay?

Encuentro 3 posiciones principales:

Cada uno de ellos nos da otras 6 posiciones. Podemos mover la posición inicial de la Reina negra a otras 6 casillas. Entonces tenemos 21 posiciones básicas.

¿Hay otras posiciones básicas?

Para cada posición básica podemos:

1) cambiar de color x2

2) rotar el tablero x4

3) posición del espejo x2

Entonces, una posición básica genera 2x4x2 = 16 posiciones. Y la respuesta final es: hay 16x21 = 336 tales posiciones.

¿Es esto correcto?

Su segunda posición básica permite 4 variantes más además de las que ya dio, indicadas en el siguiente diagrama:

Eso lleva el recuento de "posiciones básicas" a 25. Si esa adición hace que la lista sea exhaustiva o no, no estoy completamente seguro (aunque creo que sí).

En cualquier caso, sea cual sea el número de posiciones básicas, su extrapolación del número total de posiciones desde allí (x2 para el cambio de color yx8 para las transformaciones del tablero) es correcta ya que el grupo de simetría del tablero de ajedrez tiene realmente el orden 8 , como se confirma en la p.334 de este capítulo del Manual de programación de restricciones , por ejemplo. (Sin embargo, uno debe tener cuidado al contar en exceso aquí; ver más abajo). Así que por el momento supongo que la respuesta es 25 x 16 = 400.

Estoy agregando esta digresión matemática porque veo en su perfil que está interesado en seguir estudiando matemáticas. Puede que no esté diciendo nada aquí de lo que aún no estés al tanto, pero aquí va de todos modos.

Tenga en cuenta que hay algunas posiciones de ajedrez que serán idénticas bajo diferentes simetrías del tablero. Por ejemplo, considere el acto de reflexionar a través de la diagonal a1-h8. Esa simetría del tablero generalmente cambiará una posición dada, por ej.

se convierte

Pero, por supuesto, algunas posiciones (es decir, aquellas que solo tienen piezas en la diagonal a1-h8) no cambian bajo esa simetría, por ejemplo, la posición

permanece sin cambios cuando reflexionamos a través de esa diagonal.

Debido a este tipo de comportamiento, generalmente se debe tener cuidado de no contar en exceso en este tipo de problema de conteo. Para su problema, eso significa asegurarse de que ninguna de sus posiciones básicas se repita bajo ninguna de las simetrías (no de identidad), de modo que nuestro "x 16" al obtener el número total de posiciones del número de posiciones básicas no sea exceso de conteo. En el presente caso, sus posiciones básicas son lo suficientemente complicadas / asimétricas que es intuitivamente claro que ninguna de ellas se repetirá bajo estas simetrías, por lo que no hay nada de qué preocuparse, pero en matemáticas a menudo es cuando las cosas están "intuitivamente claras" que uno necesita estar más preocupado por los errores. (De hecho, hay un dicho que dice que si desea encontrar errores en una prueba matemática, comience con cualquier lugar que diga: "Está claro que ...")