Es posible que desee utilizar la teoría de la perturbación . Esto solo le da una respuesta aproximada , pero permite un tratamiento analítico. Su fuerza se considera una pequeña perturbación de la órbita elíptica de Kepler y las ecuaciones resultantes del movimiento se expandió en potencias de . Para la teoría de la perturbación lineal, solo se retienen los términos lineales enEsto simplemente lleva a integrar la perturbación a lo largo de la órbita original no perturbada. Escribiendo su fuerza como un vector, la aceleración perturbadora es
con la velocidad radial ( ) y
K a = K G MKKvr=v⋅ r v≡ ˙ r vt=(v - r (v⋅ r ))
a=KGMr2c2vrvt
vr=v⋅r^v ≡ r˙vt= ( v - r^( v ⋅ r^) ) el componente rotacional de la velocidad ( la velocidad completa menos la velocidad radial). Aquí, el punto de arriba denota una derivada del tiempo y un sombrero del vector unitario.
Ahora, depende de lo que quieras decir con ' efecto '. Analicemos los cambios del semimaje orbital eje , excentricidad dirección de periapsis.eunmi
Para resumir los resultados a continuación : el eje semi-mayor y la excentricidad no cambian, pero la dirección de periapsis gira en el plano de la órbita a una velocidad
donde es la frecuencia orbital y con eje semi-mayor. Tenga en cuenta que (para ) esto concuerda con la tasa de precesión de la relatividad general (GR) en el orden (dada por Einstein 1915 pero no mencionada en la pregunta original).Ωvc=ΩaaK=3v 2 c /c2
ω = Ω v2CC2K1 - e2,
ΩvC= Ω aunK= 3v2C/ c2
cambio de semieje mayor
De la relación (con la energía orbital) tenemos para el cambio de debido a un externo aceleración (no kepleriana)
Insertar (tenga en cuenta que con el vector de momento angular ), obtenemos
Dado que el promedio de la órbita para cualquier función (ver más abajo), .E = 1a = - G M/ 2Ea ˙ a =2a2E=12v2−GMr−1aav⋅vt=h2/r2h≡r∧v ˙ a =2a2Kh2
a˙=2a2GMv⋅a.
av⋅vt=h2/r2h≡r∧v⟨Vrf(r)⟩=0f⟨ ˙ un ⟩=0a˙=2a2Kh2c2vrr4.
⟨vrf(r)⟩=0f⟨a˙⟩=0
cambio de excentricidad
De , encontramos
Ya sabemos que , por lo que solo debemos considerar el primer término. Por lo tanto,
donde he usado la identidad
y el hechoh2=(1−e2)GMa
ee˙=−h⋅h˙GMa+h2a˙2GMa2.
⟨a˙⟩=0ee˙=−(r∧v)⋅(r∧a)GMa=−r2v⋅aGMa=−Kh2ac2vrr2,
(a∧b)⋅(c∧d)=a⋅cb⋅d−a⋅db⋅cr⋅ap=0 . De nuevo y, por lo tanto, .
⟨vr/r2⟩=0⟨e˙⟩=0
cambio de dirección de periapsis
El vector de excentricidad
puntos (desde el centro de gravedad) en la dirección de periapsis, tiene magnitud , y se conserva bajo el movimiento Kepleriano (¡valide todo eso como un ejercicio!). De esta definición encontramos su cambio instantáneo debido a la aceleración externa
e≡v∧h/GM−r^e
e˙=a∧(r∧v)+v∧(r∧a)GM=2(v⋅a)r−(r⋅v)aGM=2Kc2h2vrrr4−Kc2v2rvtr
donde he usado la identidad
y el hecho . Los promedios de órbita de estas expresiones se consideran en el apéndice a continuación. Si finalmente ponemos todo junto, obtenemos
con [
corregido nuevamente ]
Esta es una rotación de periapsis en el plano de la órbita con frecuencia angular. En particular
a∧(b∧c)=(a⋅c)b−(a⋅b)cr⋅a=0e˙=ω∧eω=ΩKv2cc2(1−e2)−1h^.
ω=|ω|⟨ee˙⟩=⟨e⋅e˙⟩=0 de acuerdo con nuestro hallazgo anterior.
No olvide que debido a nuestro uso de la teoría de perturbación de primer orden, estos resultados solo son estrictamente verdaderos en el límite . En la teoría de perturbaciones de segundo orden, sin embargo, tanto y / o puede cambiar. En sus experimentos numéricos, usted debe encontrar que los cambios de órbita promediada de y son cero o más fuerte que la escala lineal con la amplitud de perturbación .K(vc/c)2→0aeaeK
descargo de responsabilidad No hay garantía de que el álgebra sea correcto. ¡Revisalo!
Apéndice: promedios de órbita
Los promedios de órbita de con una función abitraria (pero integrable) se pueden calcular directamente para cualquier tipo de órbita periódica. Sea la antiderivada de , es decir, , entonces el promedio de la órbita es:
con el período orbital.vrf(r)f(r)F(r)f(r)F′=f
⟨vrf(r)⟩=1T∫T0vr(t)f(r(t))dt=1T[F(r(t))]T0=0
T
Para los promedios de órbita requeridos en , debemos profundizar un poco más. Para una órbita elíptica kepleriana
con el vector de excentricidad y un vector perpendicular a y . Aquí, es la anomalía excéntrica, que está relacionada con la anomalía media través de
modo que⟨e˙⟩
r=a((cosη−e)e^+1−e2−−−−−√sinηk^)andr=a(1−ecosη)
ek^≡h^∧e^ehηℓℓ=η−esinη,dℓ=(1−ecosη)dη y un promedio de órbita se convierte en
Tomando la derivada del tiempo (tenga en cuenta que la frecuencia orbital) de , encontramos la velocidad orbital instantánea (no perturbada)
donde he introducido , la velocidad de la órbita circular con semieje mayor . A partir de esto, encontramos la velocidad radial
⟨⋅⟩=(2π)−1∫2π0⋅dℓ=(2π)−1∫2π0⋅(1−ecosη)dη.
ℓ˙=Ω=GM/a3−−−−−−√rv=vc1−e2−−−−−√cosηk^−sinηe^1−ecosη
vc≡Ωa=GM/a−−−−−−√avr=r^⋅v=vcesinη(1−ecosη)−1
y la velocidad de rotación
vt=vc1−e2−−−−−√(cosη−e)k^−(1−e2)sinηe^(1−ecosη)2.
Con estos, hemos [ corregido de nuevo ]
en particular, los componentes en la dirección promedian a cero. Por lo tanto [ corregido de nuevo ]
⟨h2vrrr4⟩=Ωv2ck^e(1−e2)3/22π∫2π0sin2η(1−ecosη)4dη=Ωv2ce2(1−e2)k^⟨v2rvtr⟩=Ωv2ck^e2(1−e2)1/22π∫2π0sin2η(cosη−e)(1−ecosη)4dη=0,
e^⟨2h2vrrr4−v2rvtr⟩=Ωv2cek^(1−e2)