¿Cómo sé, matemáticamente en lugar de por observación, si una luna está llena?

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Sé sobre las ecuaciones para describir la órbita de una luna alrededor de un planeta. Sé el eje semi-mayor de la luna y la excentricidad, y lo mismo para su mundo anfitrión con la estrella que orbitan.

¿Hay alguna ecuación que me diga cuánto de la luna está iluminada por la noche, y posiblemente qué tan brillante, como se ve desde el planeta?

orbital-mechanics

— Kalcipher23
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Las fases de la Luna se pueden definir por el ángulo de fase entre el Sol, la Luna y la Tierra; por ejemplo, a 0 °, la Luna se define como llena, y a 180 ° se define como nueva. Si desea saber qué tan brillante es la Luna en un ángulo dado, usaríamos el ángulo de fase para encontrar las magnitudes aparentes y absolutas de la Luna.

Magnitud absoluta, cuando se refiere a objetos iluminados (objetos que no producen su propia luz visible), simplemente significa su magnitud aparente si se ve desde 1 UA de distancia. Esto significa que depende casi por completo del ángulo de fase del objeto. En este momento, estás preguntando qué tan brillante le parecería la Luna a una persona en la Tierra, así que encontraremos la magnitud aparente. La fórmula para encontrar la magnitud aparente de un objeto iluminado (en el Sistema Solar), si conocemos su magnitud absoluta , es: $H$

m = H + 2.5 \log_{10} (\frac{d_{B S}^{2} d_{B O}^{2}}{p (χ) d_{0}^{4}})

$m = H + 2.5 \log_{10}{\left(\frac{d_{BS}^2 d_{BO}^2}{p(\chi) d_0^4}\right)}\!\,$

Donde es 1 AU, es el ángulo de fase (en radianes) y es la fase integral (integración de la luz reflejada). es la distancia entre el observador y el cuerpo, es la distancia entre el Sol y el cuerpo, y es la distancia entre el observador y el Sol. Esta fórmula probablemente parezca bastante aterradora, pero se puede simplificar con algunas aproximaciones. Primero, podemos aproximar la integral de fase de esta manera: Donde $d_0$ $\chi$ $p(\chi)$ $d_{BO}$ $d_{BS}$ $d_{OS}$

p (χ) = \frac{2}{3} ((1 - \frac{χ}{π}) \cos χ + \frac{1}{π} \sin χ)

$p(\chi) = \frac{2}{3} \left( \left(1 - \frac{\chi}{\pi}\right) \cos{\chi} + \frac{1}{\pi} \sin{\chi} \right)$

χ

$\chi$ es el ángulo de fase, en radianes. En el caso de la Luna, podemos establecer (esta es la magnitud absoluta durante una luna llena), AU y AU. Ahora obtenemos la fórmula:

H_{M o o n} = + 0.25

$H_{Moon} = +0.25$

d_{O S} = d_{B S} = 1

$d_{OS} = d_{BS} = 1$

d_{B O} = 0.00257

$d_{BO} = 0.00257$

m_{M o o n} = 0.25 + 2.5 \log_{10} (\frac{{0.00257}^{2}}{p (χ)})

$m_{Moon} = 0.25 + 2.5 \log_{10}{\left(\frac{0.00257^2}{p(\chi)}\right)}$

Entonces, ahora tenemos una fórmula que se aproxima a la magnitud aparente de la Luna en cualquier ángulo de fase dado. Sin embargo, aunque esto proporciona una aproximación cercana, no es 100% precisa. Los astrónomos usan relaciones derivadas empíricamente para predecir magnitudes aparentes cuando se requiere precisión.

Aquí hay un script rápido que escribí para calcular la magnitud aparente, dado cualquier ángulo de fase: https://jsfiddle.net/fNPvf/33429/

— Sir Cumference
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Aquí hay un enfoque práctico: el algoritmo y las ecuaciones se empaquetan como una biblioteca de software.

Instale PyEphem:

http://rhodesmill.org/pyephem/

Ejecutarlo:

$ python
Python 2.7.12 (default, Jun 29 2016, 14:05:02) 
[GCC 4.2.1 Compatible Apple LLVM 7.3.0 (clang-703.0.31)] on darwin
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> import ephem
>>> moon = ephem.Moon(ephem.now())
>>> print moon.phase
32.316860199
>>> print(ephem.next_new_moon(ephem.now()))
2016/9/1 09:03:05
>>> print(ephem.next_full_moon(ephem.now()))
2016/9/16 19:05:05
>>>

'fase' está entre 0 (luna nueva) y 100 (luna llena).

Más detalles:

http://rhodesmill.org/pyephem/tutorial.html

— Florin Andrei
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Wow - ¡No me di cuenta de que PyEphem era tan fácil de usar! Gracias por publicar el script, lo probaré.

— uhoh