¿Por qué el sol no aleja a la luna de la tierra?
Respuesta corta: porque la Luna está mucho más cerca de la Tierra que del Sol. Esto significa que la aceleración gravitacional de la Tierra hacia el Sol es casi la misma que la aceleración gravitacional de la Luna hacia el Sol.
La aceleración de la Luna hacia el Sol, es de hecho aproximadamente el doble que la Luna hacia la Tierra,-GM⊕r−GM⊙R+r||R+r||3 . Esto es irrelevante. Lo relevante es la aceleración hacia la Tierra de la Luna debido a la gravitación en comparación con la diferencia entre la aceleración gravitacional hacia el Sol de la Luna y la Tierra,
a⊙,rel=-GM⊙(R+r−GM⊕r||r||3
Esta aceleración relativa hacia el Sol es una pequeña perturbación (menos de 1/87ºen magnitud) en la aceleración gravitacional de la Luna hacia la Tierra. Dadas las circunstancias actuales, el Sol no puede alejar a la Luna de la Tierra.
una⊙ , rel= - G M⊙( R+ rEl | El | R+ r | El |3- REl | El | REl | El |3)
Respuesta más larga:
La fuerza gravitacional ejercida por el Sol en la Luna es más del doble que la ejercida por la Tierra en la Luna. Entonces, ¿por qué decimos que la Luna orbita la Tierra? Esto tiene dos respuestas. Una es que "órbita" no es un término mutuamente exclusivo. El hecho de que la Luna orbita la Tierra (y lo hace) no significa que tampoco orbita el Sol (o la Vía Láctea, para el caso). Lo hace.
La otra respuesta es que la fuerza gravitacional tal cual no es una buena métrica. La fuerza gravitacional del Sol y la Tierra es igual a una distancia de aproximadamente 260000 km de la Tierra. Los comportamientos a corto y largo plazo de un objeto que orbita la Tierra a 270000 km son esencialmente los mismos que los de un objeto que orbita la Tierra a 250000 km. Esos 260000 km donde las fuerzas gravitacionales del Sol y la Tierra son iguales en magnitud carecen de sentido.
Una mejor métrica es la distancia a la que una órbita se mantiene estable durante mucho, mucho, mucho tiempo. En el problema de los dos cuerpos, las órbitas a cualquier distancia son estables siempre que la energía mecánica total sea negativa. Este ya no es el caso en el problema de varios cuerpos. La esfera de Hill es una medida algo razonable en el problema de los tres cuerpos.
La esfera Hill es una aproximación de una forma mucho más compleja, y esta forma compleja no captura dinámicas a largo plazo. Un objeto que orbita circularmente en (por ejemplo) 2/3 del radio de la esfera Hill no permanecerá en una órbita circular por mucho tiempo. En cambio, su órbita se volverá bastante enrevesada, a veces se sumerge tan cerca de 1/3 del radio de la esfera Hill del planeta, otras veces se mueve ligeramente fuera de la esfera Hill. El objeto escapa de las garras gravitacionales del planeta si una de esas excursiones más allá de la esfera Hill ocurre cerca del punto L1 o L2 de Lagrange.
En el problema del cuerpo N (por ejemplo, el Sol más la Tierra más Venus, Júpiter y todos los demás planetas), la esfera de Hill sigue siendo una métrica razonablemente buena, pero debe reducirse un poco. Para un objeto en una órbita programada como la Luna, la órbita del objeto permanece estable durante un período de tiempo muy largo siempre que el radio orbital sea inferior a 1/2 (y tal vez 1/3) del radio de la esfera Hill.
La órbita de la Luna sobre la Tierra es actualmente aproximadamente 1/4 del radio de la esfera de la colina de la Tierra. Eso está bien incluso dentro del límite más conservador. La Luna ha estado orbitando la Tierra durante 4.500 millones de años, y continuará haciéndolo durante algunos miles de millones de años más en el futuro.