La solución es una solución de dos partes.
Si habitualmente desea sincronizar un dispositivo con dos bibliotecas, la manera más fácil es deshabilitar toda la sincronización automática en la primera biblioteca de iTunes antes de llevar el dispositivo iOS a la segunda computadora.
Siempre puede esperar la advertencia de "borrar" y cancelar la sincronización. (que es el punto que tienes en tu captura de pantalla). En ese momento, vaya a la configuración actual del dispositivo y desactive la sincronización automática para todas las categorías que hacen que aparezca el cuadro de diálogo de advertencia. Tenga en cuenta que la música, los tonos de llamada y otras configuraciones pueden hacer que aparezca la advertencia, por lo que es posible que su trabajo no se realice simplemente desmarcando la música. La configuración en la computadora que recibe la advertencia está en conflicto con la configuración de la computadora anterior, por lo que debe reconciliarla antes de que pueda comenzar la sincronización manual.
Una vez que haya descubierto todos los "silos" que le interesan, puede llevar fácilmente un dispositivo a varias computadoras para hacer una copia de seguridad, pero solo ciertas computadoras para la sincronización. El uso de una computadora para sincronizar los datos (contactos y calendario) y otra para los medios es un caso de uso que Apple admite totalmente en iTunes. Una vez que configure las cosas, no debe esperar tener problemas con un dispositivo y la situación de muchas computadoras.