También tengo este problema (2012 Mac con El Capitan 10.11.5). Yo no tengo este problema en mi Mac Mini 2007 10.6.8 corriendo con una configuración similar (excepto usando DVI en lugar de HDMI). Cuando cierro la pantalla compartida de Mac o el TouchPad en iOS, o cambio las aplicaciones de iOS o bloqueo el teléfono, la Mac Mini apaga el video externo.
La solución que he encontrado es: Presiona pausa / reproducción en el Apple Remote (el control remoto físico por infrarrojos, no una aplicación) después de comenzar el video, antes de cerrar el uso compartido de la pantalla. Entonces debería poder cerrar el uso compartido de la pantalla y la pantalla permanecerá encendida. También hice esto con el mouse bluetooth de Apple y también funciona.
También puede lograr esto despertando la Mac Mini con el control remoto antes de iniciar el uso compartido de la pantalla, si lo recuerda. Sin embargo, es molesto ya que a menudo se abrirá y comenzará a reproducir iTunes.
La Mac simplemente parece necesitar alguna entrada de un dispositivo físico (mouse o remoto) después de despertarse para evitar que la pantalla vuelva a dormir.
Voy a probar la casilla de verificación Gestión remota también para ver si eso ayuda.