Respuestas:
SMS es un servicio estrictamente celular, lo que significa que todos los mensajes de texto usan conexión celular. No hay forma de acceder a sus mensajes de texto desde Internet (o por cualquier otro medio que no use el teléfono donde se encuentran los mensajes de texto). Si pudiera aclarar para qué necesita estos mensajes, podríamos ayudarlo a encontrar una solución.
EDITAR: después de la aclaración, parece que le gustaría el contenido de texto sin formato. Si tiene una computadora Macintosh con OS X 10.10 "Yosemite" o superior y su iPhone ejecuta iOS 8 o superior, puede usar la continuidad para sincronizar todos los mensajes SMS con su computadora, lo que le permite copiar / pegar manualmente todo el contenido .
Para obtener una guía sobre cómo configurar esto, consulte la guía de Apple sobre Continuidad