Usted mencionó en su pregunta que no desea comprar ningún conector adicional. ¿Alguna razón en particular? ¿Qué tan poco dispuesto estás a gastar dinero? La resolución no será el problema, es la latencia.
Si es absolutamente adverso a pagar, intente ejecutar un servidor VNC en su teléfono y luego conéctese a él utilizando un programa de visualización VNC en su computadora. Laptop Magazine tiene un muy buen tutorial aquí: Cómo controlar un dispositivo Android desde su PC . Hacen referencia al servidor VMLite VNC, que cuesta $ 9.99, pero puede encontrar otros programas de servidor VNC que son gratuitos (aunque varios no parecen terriblemente confiables, IMO). Sin embargo, obtienes lo que pagas; Una solución inalámbrica barata significa retraso de entrada. Tus juegos serán muy difíciles de jugar y la experiencia será generalmente pobre.
Si puede administrar unos pocos dólares, entonces un Adaptador Micro USB a HDMI MHL (con un Adaptador Micro USB de 5 pines a 11 pines para su S4 - ¡asegúrese de leer la letra pequeña!) Como se indica en la respuesta de gt7599a es el camino a seguir. $ 15 (ish) más un cable HDMI le brinda una solución cableada con muy baja latencia.
Si quieres algo inalámbrico pero también quieres poder jugar, tu mejor opción es un adaptador que aproveche las capacidades WiFi Direct / Miracast del S4. Eso significa un Samsung WI-FI All-Share Cast Hub ($ 55), NETGEAR Push2TV ($ 60) o similar.
¿Cuánto vale para ti?