Tengo un par de preguntas sobre lo siguiente:
Estoy tratando de resolver la ecuación de Schrodinger en 1D usando la discretización de manivela nicolson seguida de invertir la matriz tridiagonal resultante. Mi problema ahora se ha convertido en un problema con condiciones de límite periódicas, por lo que he modificado mi código para usar el algoritmo Sherman Morrison.
Supongamos vque mi RHS está en cada paso de tiempo cuando deseo invertir la matriz tridiagonal. El tamaño de ves el número de puntos de cuadrícula que tengo sobre el espacio. Cuando establezco v[0]y v[-1]en términos mutuos como se requiere en mi situación periódica, mi ecuación explota. No puedo decir por qué sucede esto. Estoy usando python2.7 y scipy incorporado solve_banded para resolver la ecuación.
Esto me lleva a mi segunda pregunta: utilicé Python porque es el lenguaje que mejor conozco, pero lo encuentro bastante lento (incluso con las optimizaciones ofrecidas por numpy y scipy). He intentado usar C ++ ya que estoy bastante familiarizado con él. Pensé que usaría el GSL que estaría optimizado para BLAS, pero no encontré documentación para crear vectores complejos o resolver la matriz tridiagonal con vectores de valores tan complejos.
Me gustaría tener objetos en mi programa, ya que creo que sería la forma más fácil de generalizar más tarde para incluir el acoplamiento entre las funciones de onda, por lo que me apego a un lenguaje orientado a objetos.
Podría intentar escribir el solucionador de matriz tridiagonal a mano, pero me encontré con problemas cuando lo hice en Python. A medida que evolucioné durante grandes tiempos con pasos de tiempo cada vez más finos, el error se acumuló y me dio tonterías. Teniendo esto en cuenta, decidí usar los métodos incorporados.
Cualquier consejo es muy apreciado.
EDITAR: Aquí está el fragmento de código relevante. La notación está tomada de la página de Wikipedia en la ecuación de la matriz tridiagonal (TDM). v es el RHS del algoritmo de manivela nicolson en cada paso de tiempo. Los vectores a, byc son las diagonales del TDM. El algoritmo corregido para el caso periódico es de CFD Wiki . He cambiado un poco el nombre. Lo que han llamado u, v He llamado U, V (en mayúscula). He llamado q el complemento, y la solución temporal y la solución real self.currentState. La asignación de v [0] y v [-1] es lo que está causando el problema aquí y, por lo tanto, se ha comentado. Puede ignorar los factores de gamma. Son factores no lineales utilizados para modelar condensados de Bose Einstein.
for T in np.arange(self.timeArraySize):
for i in np.arange(0,self.spaceArraySize-1):
v[i] = Y*self.currentState[i+1] + (1-2*Y)*self.currentState[i] + Y*self.currentState[i-1] - 1j*0.5*self.timeStep*potential[i]*self.currentState[i] - self.gamma*1j*0.5*self.timeStep*(abs(self.currentState[i])**2)*self.currentState[i]
b[i] = 1+2*Y + 1j*0.5*self.timeStep*potential[i] + self.gamma*self.timeStep*1j*0.5*(abs(self.currentState[i])**2)
#v[0] = Y*self.currentState[1] + (1-2*Y)*self.currentState[0] + Y*self.currentState[-1] - 1j*0.5*self.timeStep*potential[0]*self.currentState[0]# - self.gamma*1j*0.5*self.timeStep*(abs(self.currentState[0])**2)*self.currentState[0]
#v[-1] = Y*self.currentState[0] + (1-2*Y)*self.currentState[-1] + Y*self.currentState[-2] - 1j*0.5*self.timeStep*potential[-1]*self.currentState[-1]# - self.gamma*1j*0.5*self.timeStep*(abs(self.currentState[-1])**2)*self.currentState[-1]
b[0] = 1+2*Y + 1j*0.5*self.timeStep*potential[0] + self.gamma*self.timeStep*1j*0.5*(abs(self.currentState[0])**2)
b[-1] = 1+2*Y + 1j*0.5*self.timeStep*potential[-1] + self.gamma*self.timeStep*1j*0.5*(abs(self.currentState[-1])**2)
diagCorrection[0], diagCorrection[-1] = - b[0], - c[-1]*a[0]/b[0]
tridiag = np.matrix([
c,
b - diagCorrection,
a,
])
temp = solve_banded((1,1), tridiag, v)
U = np.zeros(self.spaceArraySize, dtype=np.complex64)
U[0], U[-1] = -b[0], c[-1]
V = np.zeros(self.spaceArraySize, dtype=np.complex64)
V[0], V[-1] = 1, -a[0]/b[0]
complement = solve_banded((1,1), tridiag, U)
num = np.dot(V, temp)
den = 1 + np.dot(V, complement)
self.currentState = temp - (num/den)*complement