¿Cómo integrar la expresión polinómica sobre un elemento 3D de 4 nodos?

Quiero integrar una expresión polinómica sobre un elemento de 4 nodos en 3D. Varios libros sobre FEA cubren el caso en el que la integración se realiza sobre un elemento plano arbitrario de 4 nidos. El procedimiento habitual en este caso es encontrar la matriz de Jacobi y usar su determinante para cambiar la base de integración a la normalizada en la que tengo los límites de integración más simples [-1; 1] y la técnica de cuadratura de Gauss-Legendre se usa fácilmente.

En otras palabras, se reduce a la forma de $\displaystyle\int_S f(x,y)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,$ $\displaystyle\int^{-1}_{1}\int^{-1}_{1} \tilde{f}(e,n)\ \left|\det(J)\right|\,\mathrm{d}e\,\mathrm{d}n$

Pero en el caso 2D, cambio el elemento arbitrario plano al plano plano pero cuadrado bien formado 2 por 2.

El elemento 3D de 4 nodos no es plano en general, pero supongo que todavía se puede mapear con un sistema de coordenadas 2D que de alguna manera está relacionado con el sistema de coordenadas cartesianas. No puedo entender cómo expresar {x, y, z} en términos de {e, n} y cuál sería el tamaño de la matriz de Jacobi en este caso (se supone que es cuadrado).

Dominios 2D y 3D

finite-element quadrature

— danny_23
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Está integrando una función en una variedad bidimensional incrustada en ; Los libros en análisis sobre múltiples (como el libro accesible de Munkres o los libros de Lee sobre múltiples) son útiles para discutir la teoría que define este tipo de integral. $\mathbb{R}^{3}$

Supongamos que es una función de valor real definida en el múltiple , que es su elemento tridimensional de 4 nodos. $f$ $\mathcal{M}$

Quieres calcular:

\begin{aligned} \int_{M} f d S . \end{aligned}

$\begin{align} \int_{\mathcal{M}} f \,\mathrm{d}S. \end{align}$

Suponga que es una función que asigna a . Luego $\varphi$ $[-1,1]^{2}$ $\mathcal{M}$

\begin{aligned} \int_{M} f d S = \int_{[- 1, 1]^{2}} f (φ (x, y)) (det (D φ^{T} (x, y) D φ (x, y)))^{1 / 2} d x d y \end{aligned}

$\begin{align} \int_{\mathcal{M}} f \,\mathrm{d}S = \int_{[-1,1]^{2}} f(\varphi(x,y))\Big(\det\big(\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}(x,y)\mathrm{D}\varphi(x,y)\big)\Big)^{1/2}\, \mathrm{d}x \,\mathrm{d}y \end{align}$

(Utilicé este conjunto de notas para refrescar mi memoria.) Arriba, es la matriz jacobiana de , y es su transposición. $\mathrm{D}\varphi$ $\varphi$ $\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}$

Una vez que pueda escribir la integral sobre , puede usar métodos numéricos para evaluarla. $[-1,1]^{2}$

Algunos comentarios:

Estoy bastante seguro de que su elemento tridimensional de 4 nodos es múltiple. Si es así, la función existe (por definición), es continua por partes (para múltiples topológicos) y es invertible. Depende de usted encontrar una función con esas propiedades. $\varphi$
El argumento anterior supone que es una variedad uniforme, lo que implica que existe un que es continuamente diferenciable. En su caso, el elemento que describe puede no ser continuamente diferenciable. Si eso es cierto, probablemente aún podría dividir su múltiple en dos múltiples suaves, y luego el argumento anterior aún se mantiene. Nuevamente, debe encontrar satisfaga las propiedades de invertibilidad y diferenciabilidad continua. $\mathcal{M}$ $\varphi$ $\varphi$

— Geoff Oxberry
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Muchas gracias. El libro que estoy leyendo cubre solo el caso en el que una matriz de Jacobi cuadrada (2 por 2) está involucrada para mantener las cosas simples. La expresión anterior, si acerté, hace posible el uso de matrices Jacobi de tamaño arbitrario (2 por 3). Desafortunadamente, todavía obtengo en este momento, pero es mucho mejor que antes. Crearé otro hilo sobre la elección adecuada de la función de mapeo. Gracias de nuevo.

det (D φ^{T} (x, y) D φ (x, y)) = 0

$\det(\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}(x,y)\mathrm{D}\varphi(x,y))=0$

— danny_23

Su matriz jacobiana debe ser 3 por 2, por lo que debe ser una matriz de 2 por 2.

D φ

$\mathrm{D}\varphi$

D φ^{T} D φ

$\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}\mathrm{D}\varphi$

— Geoff Oxberry

Geoff, eso es correcto.

— Pongo