Para una sola ecuación racional en el dominio complejo, la cuenca de atracción es fractal, la competencia de un conjunto llamado Julia. http://en.wikipedia.org/wiki/Julia_set . Para la teoría con algunas buenas figuras en línea, ver, por ejemplo,
http://mathlab.mathlab.sunysb.edu/~scott/Papers/Newton/Published.pdf
http://hera.ugr.es/doi/15019160.pdf
Incluso el método de Newton amortiguado "globalizado" para tiene una cuenca fractal de atracción; ver http://www.jstor.org/stable/10.2307/2653002 .X3- 1 = 0
Por lo tanto, no tiene mucho sentido especificar en detalle qué está "suficientemente cerca" de la solución. Si se conocen los límites de las segundas derivadas, existe el teorema de Newton-Kantorovich, que proporciona límites más bajos en el radio de una bola en la que converge el método de Newton, pero excepto en 1D, estos tienden a ser bastante pesimistas.
Los límites computacionalmente útiles se pueden obtener usando la aritmética de intervalos; véase, por ejemplo, mi artículo
Shen Zuhe y A. Neumaier, El operador Krawczyk y el teorema de Kantorovich, J. Math. Anal. Appl. 149 (1990), 437-443.
http://www.mat.univie.ac.at/~neum/scan/61.pdf