¿Existe un algoritmo numérico para encontrar una pendiente asintótica?

Tengo una serie de puntos de datos que espero (aproximadamente) sigan una función que asíntota a una línea en grande . Esencialmente, acerca a cero como , y probablemente se puede decir lo mismo de todas las derivadas , , etc. Pero no sé cuál es la forma funcional de f (x) , incluso si tiene una que pueda describirse en términos de funciones elementales.y ( x ) x f ( x ) ≡ y ( x ) - ( a x + b ) x → ∞ f ′ ( x ) f ″ ( x $(x_i,y_i)$$y(x)$$x$$f(x) \equiv y(x) - (ax + b)$$x \to \infty$$f'(x)$$f''(x)$$f(x)$

Mi objetivo es obtener la mejor estimación posible de la pendiente asintótica $a$ . El método bruto obvio es seleccionar los últimos puntos de datos y hacer una regresión lineal, pero, por supuesto, esto será inexacto si $f(x)$ no se vuelve "lo suficientemente plana" dentro del rango de $x$ para el que tengo datos. El método menos burdo obvio es suponer que $f(x) \approx \exp(-x)$ (o alguna otra forma funcional particular) y ajustarse a eso usando todos los datos, pero las funciones simples que he probado como $\exp(-x)$ o $\dfrac1{x}$ no coinciden con los datos en x inferior $x$donde $f(x)$es largo. ¿Existe un algoritmo conocido para determinar la pendiente asintótica que mejoraría, o que podría proporcionar un valor para la pendiente junto con un intervalo de confianza, dada mi falta de conocimiento de cómo se acercan exactamente los datos a la asíntota?

Este tipo de tarea tiende a aparecer con frecuencia en mi trabajo con varios conjuntos de datos, por lo que me interesan principalmente las soluciones generales, pero a pedido, me relaciono con el conjunto de datos en particular que provocó esta pregunta. Como se describe en los comentarios, el algoritmo Wynn $\epsilon$ da un valor que, por lo que puedo decir, está algo apagado. Aquí hay una trama:

(Parece que hay una ligera curva descendente a valores altos de x, pero el modelo teórico para estos datos predice que debería ser asintóticamente lineal).

Es un algoritmo bastante aproximado, pero usaría el siguiente procedimiento para una estimación cruda: si, como usted dice, la supuesta que representa su ya es casi lineal a medida que aumenta, lo que yo ' d do es tomar diferencias , y luego usar un algoritmo de extrapolación como la transformación de Shanks para estimar el límite de las diferencias. Con suerte, el resultado es una buena estimación de esta pendiente asintótica.( x i , y i ) x y i + 1 - y $f(x)$$(x_i,y_i)$$x$$\dfrac{y_{i+1}-y_i}{x_{i+1}-x_i}$

Lo que sigue es una demostración de Mathematica . El algoritmo Wynn es una implementación conveniente de la transformación Shanks, y está integrado como la función (oculta) . Probamos el procedimiento en la función$\epsilon$SequenceLimit[]

xdata = RandomReal[{20, 40}, 25];
ydata = Table[(3 + 13*E^(4*x) + 6*E^(4*x)*x + x^2 + 3*E^(4*x)*x^2 + 
      2*E^(4*x)*x^3)/(E^(4*x)*(3 + x^2)), {x, xdata}];

SequenceLimit[Differences[ydata]/Differences[xdata],
              Method -> {"WynnEpsilon", Degree -> 2}]
1.999998

También podría mostrar cuán simple es el algoritmo:

wynnEpsilon[seq_?VectorQ] := 
 Module[{n = Length[seq], ep, res, v, w}, res = {};
  Do[ep[k] = seq[[k]];
   w = 0;
   Do[v = w; w = ep[j];
    ep[j] = 
     v + (If[Abs[ep[j + 1] - w] > 10^-(Precision[w]), ep[j + 1] - w, 
         10^-(Precision[w])])^-1;, {j, k - 1, 1, -1}];
   res = {res, ep[If[OddQ[k], 1, 2]]};, {k, n}];
  Flatten[res]]

Last[wynnEpsilon[Differences[ydata]/Differences[xdata]]]
1.99966

Esta implementación está adaptada del documento de Weniger .