¿Cuál es la diferencia entre la norma y la norma ? No puedo encontrar una referencia definitiva. Wikipedia los usa indistintamente.
¿Cuál es la diferencia entre la norma y la norma ? No puedo encontrar una referencia definitiva. Wikipedia los usa indistintamente.
Respuestas:
Ambas normas son similares en que son inducidas por el producto escalar del respectivo espacio de Hilbert, pero difieren porque los diferentes espacios están dotados de diferentes productos internos:
Para (el espacio de secuencias reales para las cuales la siguiente norma es finita), la norma de está definida por v = { v i } i ∈ N ∈ ℓ 2 ‖ v ‖ 2 ℓ 2 = ( v , v ) ℓ 2 = ∞ ∑ i = 1 v 2 i .
Para (el espacio de las funciones medibles de Lebesgue en un dominio acotado para el cual la siguiente norma es finita), la norma de se define por
Todo esto es estándar, se puede encontrar en cualquier libro de texto introductorio sobre análisis funcional, y probablemente ya lo conozca. Dado que la pregunta está etiquetada como estimación de errores , es probable que le interese la diferencia práctica en el uso de uno u otro, por ejemplo, para la discretización de elementos finitos. Digamos que tiene un subespacio de dimensión finita que es el lapso de un número finito de funciones . Entonces cualquier se puede escribir como Como , por supuesto, puede medir con
¿Cómo se comparan las dos formas de medir ? Al conectar la definición obtiene donde es la masa matriz con entradas . En comparación, tenemos
Ambas normas son, por lo tanto, equivalentes, es decir, existen constantes tales que Entonces, en principio, podría usar ambas normas indistintamente: si el error llega a cero en una norma, también va a cero en la otra norma, y con la misma tasa. Sin embargo, nota que mientras que las constantes y son independientes de , ellos dependen de , y en particular sobre . Esto es importante si desea comparar errores de discretización para diferentes espacios con (digamos)
También hay una tercera alternativa, intermedia, donde la matriz de masa se aproxima por una matriz diagonal (por ejemplo, tomando como elementos diagonales de la suma de la fila correspondiente de ), y la norma se toma como ; Esto generalmente se conoce como masa de masa . Esta norma es también equivalente tanto con el y el norma - y en este caso, las constantes y al comparar y la masa formación de grumos norma no no dependen de .D h M h ‖ u h ‖ 2 D : = → u T D h → u = ∑ N i = 1 ( D h ) i i u 2 i ℓ 2 L 2 c 1 c 2 L 2 N
La norma 2 para secuencias se denota con . Para funciones en la línea real es la notación estándar de la norma 2.L 2