La propiedad se deriva de la propiedad de la ecuación diferencial parcial correspondiente (forma débil de la); Esta es una de las ventajas de los métodos de elementos finitos en comparación con, por ejemplo, los métodos de diferencias finitas.
Para ver eso, primero recuerde que el método de elementos finitos comienza desde la forma débil de la ecuación de Poisson (supongo que aquí las condiciones de contorno de Dirichlet): Encuentre tal que
La propiedad importante aquí es que
(Esto se desprende de la desigualdad de Poincaré).a ( u , v ) : = ∫ Ω ∇ u ⋅ ∇ vu∈H10(Ω)
a(u,v):=∫Ω∇u⋅∇vdx=∫Ωfvdxfor all v∈H10(Ω).
a(v,v)=∥∇v∥2L2≥c∥v∥2H1for all v∈H10(Ω).(1)
Ahora, el enfoque clásico de elementos finitos es reemplazar el espacio de dimensiones infinitas por un subespacio de dimensiones finitas y encontrar tal que
La propiedad importante aquí es que está utilizando la misma y un subespacio (un conformando discretización); eso significa que todavía tiene
H10(Ω) Vh⊂H10(Ω)uh∈Vh
a(uh,vh):=∫Ω∇uh⋅∇vhdx=∫Ωfvhdxfor all vh∈Vh.(2)
aVh⊂H10(Ω)a(vh,vh)≥c∥vh∥2H1>0for all vh∈Vh.(3)
Ahora para el último paso: para transformar la forma variacional en un sistema de ecuaciones lineales, elija una base de , escriba e inserte , en . La matriz de rigidez tiene las entradas (que coincide con lo que escribió).{φ1,…,φN}Vhuh=∑Ni=1uiφivh=φj1≤j≤N(2)KKij=a(φi,φj)
Ahora tome un vector arbitrario y establezca . Luego tenemos por y la bilinealidad de (es decir, puede mover escalares y sumas en ambos argumentos)
Como era arbitrario, esto implica que es positivo definido.v⃗ =(v1,…,vN)T∈RNvh:=∑Ni=1viφi∈Vh(3)a
v⃗ TKv⃗ =∑i=1N∑j=1NviKijvj=∑i=1N∑j=1Na(viφi,vjφj)=a(vh,vh)>0.
v⃗ K
TL; DR: La matriz de rigidez es positiva definida porque proviene de una discretización conforme de una ecuación diferencial parcial elíptica (autoadjunta) .