Tengo dificultades para comprender cómo aplicar la iteración de Newton a PDE no lineales y luego usar un esquema totalmente implícito para el paso del tiempo. Por ejemplo, quiero resolver la ecuación de Burgers
Entonces, discretizando el tiempo usando un Euler hacia atrás
encontramos eso
donde representa nuestro término no lineal (tenga en cuenta que el término no lineal se escribe implícitamente). Ahora, queremos aplicar la iteración de Newton a este ODE no lineal, pero aquí es donde me atoro:
¿Aplicamos la iteración de Newton al LHS de , ignorando el término , es decir, resolvemos ? ¿O se supone que debemos incluir el término ? (Solo un recordatorio, quiero cronometrar el paso usando un esquema completamente implícito después de usar la iteración de Newton, por lo que creo que solo queremos resolver el LHS = 0).u n ( I - h D 2 ) u n + 1 + N ( u n + 1 ) = 0 u n
¿Qué se supone que debemos hacer con la información de la conjetura inicial y el resultado de nuestra iteración de Newton? ¿Cómo usamos esta información en nuestro paso de tiempo?
Como estoy seguro es dolorosamente obvio, estoy bastante confundido sobre cómo abordar este problema. Si alguien pudiera dar una descripción detallada de cómo aplicar la iteración de Newton y el paso del tiempo a PDE no lineales (aunque no PDE elípticas), o podría ayudarme con el problema en cuestión, estaría muy agradecido. Gracias por adelantado.