Cómo formular una matriz de masa concentrada en FEM

Al resolver PDE dependientes del tiempo usando el método de elementos finitos, por ejemplo, digamos la ecuación de calor, si usamos pasos de tiempo explícitos, entonces tenemos que resolver un sistema lineal debido a la matriz de masa. Por ejemplo, si nos atenemos al ejemplo de la ecuación de calor,

$\frac{\partial{u}}{\partial{t}} = c\nabla{}^{2}u$

entonces usando adelante Euler obtenemos

$M(\frac{u^{n+1}-u^{n}}{dt}) = -cKu^{n}$

y, por lo tanto, a pesar de que estamos utilizando un esquema de paso de tiempo explícito, todavía tenemos que resolver un sistema lineal. Obviamente, este es un problema importante ya que la ventaja principal de usar esquemas explícitos es NO tener que resolver un sistema lineal. He leído que una forma común de solucionar este problema es usar una matriz de masa "agrupada" que transforma la matriz de masa regular (¿consistente?) En una matriz diagonal y, por lo tanto, hace que la inversión sea trivial. Sin embargo, al hacer una búsqueda en Google, todavía no estoy completamente seguro de cómo se crea esta matriz de masa agrupada. Por ejemplo, mirando el documento EXPERIMENTOS NUMÉRICOS SOBRE LA LUMINACIÓN MASIVA PARA LA ECUACIÓN DE DIFUSIÓN Y ADVECCIÓNpor Edson Wendland Harry y Edmar Schulz crean su matriz de masa agrupada simplemente sumando todos los coeficientes en la diagonal. Entonces, por ejemplo, si nuestra matriz de masa consistente original era:

(\begin{matrix} 4 4 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 4 4 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 4 4 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & 4 4 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & 4\end{pmatrix}$

entonces la matriz de masa agrupada sería:

(\begin{matrix} 9 9 & 0 0 & 0 0 & 0 0 \\ 0 0 & 9 9 & 0 0 & 0 0 \\ 0 0 & 0 0 & 9 9 & 0 0 \\ 0 0 & 0 0 & 0 0 & 9 9 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 9 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 9\end{pmatrix}$

Mi pregunta es: ¿es esta la forma correcta de formar la matriz de masa concentrada? ¿Qué desventajas existen cuando se usa la matriz de masa agrupada en lugar de la matriz de masa completamente consistente en términos de precisión? Los autores del artículo que mencioné en realidad sugirieron no usar la matriz de masa agrupada, aunque parecía que solo estaban usando un esquema de paso de tiempo implícito que pensé que era extraño dado que la razón principal para usar tales matrices es para métodos explícitos.

Nota: Nunca usaría Euler hacia adelante para resolver la ecuación de calor, eso fue solo un ejemplo. Además, si importa, mi problema es resolver las ecuaciones de Navier Stokes donde el término no lineal se trata explícitamente y el término de difusión se trata implícitamente.

Gracias

finite-element time-integration navier-stokes

— James
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O (n^{2})

$O(n^{2})$

Sí, podría hacerlo si estuviera usando un solucionador directo, pero si estoy usando PCG o algún otro solucionador iterativo, no creo que eso ayude

— James

Personalmente, no confío en la masa acumulada matemáticamente. Computacionalmente, no le da ninguna ventaja a menos que busque un paso de tiempo explícito, en cuyo caso la matriz de masa diagonal es mucho más fácil de resolver. Si está utilizando un método de paso de tiempo implícito, no gana ninguna escasez en la matriz. Creo que solo obtienes un error en ese punto al no usar una matriz consistente.

— Paul

Me sorprende que nadie haya mencionado el método de Fried y Markus (1975) para cuadriláteros, que utiliza nodos en los puntos de Lobatto para evitar una pérdida de error de truncamiento. No es un problema hasta que llegue a los cúbicos, pero excluye los elementos fortuitos. La idea se ha extendido a triángulos, pero requiere una base especial y una cuadratura.

— L. Young

No creo que haya una respuesta definitiva a esto, porque podría cambiar de un tema a otro (y también depende del tipo de elementos que esté utilizando). También hay algunos artículos recientes que hablan de eso [2]. Entonces, no es una discusión cerrada. Además, puede tener diferentes componentes inerciales (al menos en mecánica), cuando tiene elementos con restricciones cinemáticas como vigas o proyectiles.

Zienkiewicz (Ver [1], sección 16.2.4) discute tres métodos para agrupar la matriz de masa

${METRO}_{yo yo}^{(agrupado)} = \sum_{j} {METRO}_{yo j}$ $M^{(\text{lumped})}_{ii} = \sum_j M_{ij}$
${METRO}_{yo yo}^{(agrupado)} = C {METRO}_{yo yo}$ $M^{(\text{lumped})}_{ii} = c M_{ii}$ $c$ $\sum_j M^{(\text{lumped})}_{jj} = \int_\Omega \rho d\Omega$
$M$ $N_i=0$ $x=x_j$ $i\neq j$

No todos los métodos funcionan en todos los casos, por ejemplo, el método de suma de filas no funciona para elementos de serendipia de 8 nodos ya que conduciría a masas negativas.

$M_{\text{tot}}$ $\mathrm{Tr}(M)$

{METRO}_{yo yo}^{(agrupado)} = \frac{{METRO}_{nene}}{T r (METRO)} {METRO}_{yo yo} (sin resumen en yo) .

$M^{(\text{lumped})}_{ii} = \frac{M_{\text{tot}}}{\mathrm{Tr}(M)} M_{ii} \quad \text{(no summation on $i$)} \enspace .$

También he usado el método 3 con los llamados métodos de elementos espectrales con nodos Lobatto (usando estas ubicaciones como nodos y puntos de integración), que automáticamente conducen a matrices diagonales.

En [1], puede ver esta figura que describe algunos de los métodos para algunos tipos de elementos Masa de masa para algunos elementos finitos bidimensionales

Referencias

[1] Zhu, J., ZRL Taylor y OC Zienkiewicz. "El método de elementos finitos: sus bases y fundamentos". (2005): 54-102.

[2] Felippa, Carlos A., Qiong Guo y KC Park. "Plantillas de matriz de masa: descripción general y ejemplos 1d". Archivos de métodos computacionales en ingeniería 22.1 (2015): 1-65.

— nicoguaro
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