problema SVD ponderado?

Dadas dos matrices y , me gustaría encontrar los vectores e , de modo que, En forma matricial, intento minimizar la norma de Frobenius de . $A$ $B$ $x$ $y$

min \sum_{i j} (A_{i j} - x_{i} y_{j} B_{i j})^{2} .

$\min \sum_{ij} (A_{ij} - x_i y_j B_{ij})^2.$

A - diag (x) \cdot B \cdot diag (y) = A - B \circ (x y^{⊤})

$A - \mbox{diag}(x) \cdot B \cdot \mbox{diag}(y) = A - B \circ (x y^\top)$

En general, me gustaría encontrar múltiples unidades de vectores $x$ e $y$ 's en la forma

min \sum_{i j} (A_{i j} - \sum_{k = 1}^{n} s_{i} x_{i}^{(k)} y_{j}^{(k)} B_{i j})^{2} .

$\min \sum_{ij} (A_{ij} - \sum_{k=1}^n s_i x_i^{(k)} y_j^{(k)} B_{ij})^2.$ donde

s_{i}

$s_i$ son coeficientes reales positivos.

Esto es equivalente a la descomposición de valores singulares (SVD) cuando $(B)_{ij} = 1$ .

¿Alguien sabe cómo se llama este problema? ¿Existe un algoritmo conocido como SVD para la solución de dicho problema?

(migrado de mates.SE)

linear-algebra matrix reference-request

— Memming
fuente

Creo que esto es SVD generalizado . La entrada de Wikipedia no es muy detallada, por lo que probablemente debería verificar las fuentes vinculadas. En particular, la página 466 de este enlace de libros de Google podría ser útil.

— ely

Para mí, esto no se parece en nada a la SVD generalizada. Particularmente dado que B no es necesariamente diagonal o simétrica, entonces cada o puede aparecer muchas veces en la suma.

x

$x$

y

$y$

— Victor Liu

B no necesita ser diagonal ni simétrica en SVD generalizada. Los dos enlaces que proporcioné indican que A y B pueden ser matrices generales de valores complejos de dimensión M-por-N y P-por-N, respectivamente.

— Ely

Gracias por la sugerencia @EMS. Le agradecería si puede elaborar la conexión.

— Memming

Esto está lejos de ser SVD generalizado.

Si B es una matriz positiva, puede usar mi paquete BIRSVD http://www.mat.univie.ac.at/~neum/software/birsvd/

El documento http://www.mat.univie.ac.at/~neum/software/birsvd/svd_incomplete_data.pdf que describe el método allí también ofrece referencias que puede considerar para realizar una búsqueda bibliográfica.

— Arnold Neumaier
fuente

¡Ah, transformando el problema en aproximación ponderada de bajo rango! ¡Muchas gracias!

— Memming

Para agregar detalles a la respuesta de @ Arnold, este problema se puede transformar en un problema de aproximación de bajo rango ponderado donde el objetivo es minimizar la norma ponderada en lugar de la norma de Frobenius. donde y denota el producto Schur (también conocido como Producto Hadamard).

| | C - \sum s_{i} x_{i} y_{i}^{⊤} | |_{W}^{2}

$||C - \sum s_i \mathbf{x_i} \mathbf{y_i^\top}||^2_W$

| | C | |_{W} = | | C \circ W | |_{F}

$||C||_W = ||C \circ W||_F$

\circ

$\circ$

— Memming

Si. Esto le da un buen nombre a su problema. Cómo resolverlo es un asunto diferente. No es un problema estándar y fue bastante difícil encontrar un algoritmo que sea rápido y confiable.

— Arnold Neumaier

@ArnoldNeumaier esto es genial, gracias. ¿Sería posible obtener una licencia y un aviso de copyright con su código? Como es ahora, es un software propietario. Si lo libera bajo GPLv3 o compatible, podría llegar al paquete de álgebra lineal de GNU Octave.

— JuanPi