1. ¿Podemos detectar numéricamente la rigidez simplemente aplicando métodos explícitos?
[ 0 , 10 ]τ= 1 τ
τ= 0.1
τ= 0.1[ 0 , 10 ]⋆
Entonces, ¿el problema es rígido? La respuesta es NO ! Aquí se requiere un pequeño tamaño de paso para reproducir correctamente las oscilaciones de la solución .
y′( t ) = - 2 cosπt ,y( 0 ) = 1.
τ= 1
τ= 0.1
τ= 0.1[ 0 , 10 ]⋆
¿Es este problema rígido? SI ! Hemos hecho pasos muy pequeños para reproducir la solución que está cambiando muy lentamente. Esto es irracional! La magnitud del paso de tiempo aquí está limitada por las propiedades de estabilidad de Euler explícito .
Este problema es
y′( T ) = - 2 y( t ) + pecadot / 2 ,y( 0 ) = 1.
⋆
Conclusión: la información sobre los pasos de tiempo y los errores correspondientes no es suficiente para detectar la rigidez. También debe mirar la solución obtenida. Si varía lentamente y el tamaño de los pasos es muy pequeño, lo más probable es que el problema sea rígido. Si la solución oscila rápidamente y confía en su técnica de estimación de errores, entonces este problema no es rígido.
2. ¿Cómo determinar el tamaño máximo de pasos que permite integrar un problema rígido con un método explícito?
Si utiliza algún solucionador explícito de recuadro negro con control automático de pasos, entonces no necesita hacer nada: el software tomará los pasos necesarios de forma adaptativa.
[ Λ , 0 ]Λ = - 1000
[ - 2 , 0 ]τΛ τ
τ≤ 2El | Λ |.
τ≤ 1El | Λ |,
1 / | Λ | < τ≤ 2 / | Λ |
Por supuesto, dicho análisis es principalmente aplicable a problemas lineales con espectro conocido. Para problemas más prácticos, debemos confiar en métodos numéricos de detección de rigidez (ver referencias y comentarios en otras respuestas).