El aspecto más importante de la interpolación y el ajuste de curvas es comprender por qué los ajustes de polinomios de alto orden pueden ser un problema y cuáles son las otras opciones y luego puede comprender cuándo son / no son una buena opción.
Algunos problemas con polinomios de alto orden:
Los polinomios son funciones naturalmente oscilatorias. A medida que aumenta el orden del polinomio, aumenta el número de oscilaciones y estas oscilaciones se vuelven más severas. Estoy simplificando aquí, la posibilidad de raíces múltiples e imaginarias lo hace un poco más complejo, pero el punto es el mismo.
Los polinomios se aproximan a +/- infinito a una velocidad igual al orden polinómico cuando x va a +/- infinito. Esto a menudo no es un comportamiento deseado.
Calcular coeficientes polinómicos para polinomios de alto orden es típicamente un problema mal condicionado. Esto significa que pequeños errores (como redondear en su computadora) pueden crear grandes cambios en la respuesta. El sistema lineal que debe resolverse involucra una matriz de Vandermonde que puede estar mal condicionada fácilmente.
Creo que quizás el corazón de este problema es la distinción entre ajuste de curvas e interpolación .
La interpolación se utiliza cuando cree que sus datos son muy precisos, por lo que desea que su función coincida exactamente con los puntos de datos. Cuando necesita valores entre sus puntos de datos, generalmente es mejor usar una función suave que coincida con la tendencia local de los datos. Las splines cúbicas o de Hermite a menudo son una buena opción para este tipo de problema, ya que son mucho menos sensibles a los cambios o errores no locales (es decir, en puntos de datos alejados de un punto dado) y son menos oscilatorios que un polinomio. Considere el siguiente conjunto de datos:
x = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y = 1 1 1.1 1 1 1 1 1 1 1
Un ajuste polinómico tiene oscilaciones mucho más grandes, especialmente cerca de los bordes del conjunto de datos, que una spline de Hermite.
Por otro lado, la aproximación de mínimos cuadrados es un ajuste de curvatécnica. El ajuste de curvas se utiliza cuando tiene una idea de la funcionalidad esperada de sus datos, pero no necesita que su función pase exactamente por todos los puntos de datos. Esto es típico cuando los datos pueden contener errores de medición u otras imprecisiones o cuando desea extraer la tendencia general de los datos. La aproximación de mínimos cuadrados se introduce con mayor frecuencia en un curso mediante el uso de polinomios para el ajuste de la curva porque esto da como resultado un sistema lineal que es relativamente simple de resolver utilizando las técnicas que probablemente aprendió anteriormente en su curso. Sin embargo, las técnicas de mínimos cuadrados son mucho más generales que solo ajustes polinómicos y se pueden usar para ajustar cualquier función deseada a un conjunto de datos. Por ejemplo, si espera una tendencia de crecimiento exponencial en su conjunto de datos,
Finalmente, elegir la función correcta que se ajuste a sus datos es tan importante como realizar correctamente la interpolación o los cálculos de mínimos cuadrados. Hacerlo incluso permite la posibilidad de extrapolación (cautelosa). Considere la siguiente situación. Datos dados de la población (en millones de personas) para los EE. UU. Desde 2000-2010:
Year: 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2010
Pop.: 284.97 287.63 290.11 292.81 295.52 298.38 301.23 304.09 306.77 309.35
El uso de un ajuste de mínimos cuadrados linealizados exponencial N(t)=A*exp(B*t)o un interpolante polinomial de décimo orden da los siguientes resultados:
El crecimiento de la población de Estados Unidos no es exponencial, pero te dejaré ser el juez del mejor ajuste.