¿Cómo puedo calcular una base para una matriz de álgebra de Lie dado un conjunto finito de generadores?

Dado un conjunto arbitrario de (numéricos) matrices complejas cuadrados $\mathcal{A}=\{A_1,A_2,\cdots,A_m\}$ , estoy interesado en el cálculo de la álgebra de Lie matriz real generada por $\mathcal{A}$ , llamarlo $\mathcal{L_\mathcal{A}}$ . Es decir, me gustaría una base para

L_{A} = s p a n_{R} {B : B \in \cup_{k = 1}^{\infty} C_{k}}

$\mathcal{L_\mathcal{A}} = \mathbb{span_R}\{B:B\in\cup_{k=1}^{\infty}\mathcal{C}_k\}$ donde se define de forma recursiva como

C_{k}

$\mathcal{C}_k$

C_{1} = A

$\mathcal{C_1}=\mathcal{A}$ y para .

C_{k + 1} = {[X, Y] : X, Y \in \cup_{j = 1}^{k} C_{j}}

$\mathcal{C_{k+1}}=\{[X,Y]:X,Y\in\cup_{j=1}^k\mathcal{C_j}\}$

k \geq 1

$k\geq 1$

Este cálculo surge en la teoría de control (cuántico).

Actualmente estoy usando un método que se encuentra aquí que busca solo entre paréntesis de Lie repetidos (es decir, los de la forma ), y se garantiza que terminará. Sin embargo, estoy interesado en saber si hay otros métodos (más rápidos). ¿Quizás usando bases de P. Hall? ¿Quizás un algoritmo recursivo? Mi idioma predeterminado en este momento es Matlab. $[A_{j_1},[A_{j_2},[A_{j_3},\cdots[A_{j_{n-1}},A_{j_n}]\cdots]]]$

linear-algebra matlab basis-set

— Ian Hincks
fuente

Supongo que sus generadores originales son hermitianos. ¿Es esto cierto? Si es así, me imagino que el primer paso sería comparar los espacios propios de los generadores, ya que los conmutadores solo son distintos de cero cuando los espacios propios difieren.

— Jack Poulson

@JackPoulson Sí, las A provienen de hamiltonianos, por lo que son asimétricas hermitianas (no hermitianas porque se multiplican por la i en la ecuación de Schroedinger). No estoy seguro de entender por qué este sería un buen primer paso. ¿Calcular los conmutadores y verificar si son distintos de cero no sería más rápido que jugar con espacios propios?

— Ian Hincks

Para un solo nivel de conmutadores, probablemente sí. Pero hay una explosión combinatoria cuando comienzas a considerar varios niveles de conmutadores. No conozco un algoritmo, pero generalmente es una buena idea explotar tanta estructura como sea posible. Pensaría cuidadosamente si conocías otras propiedades que también relacionen tus generadores.

— Jack Poulson

Este enlace describe cómo hacer esto usando las bases de P. Hall.

En una nota un tanto relacionada, si estuviera implementando esto, me preocuparía la inestabilidad numérica de probar la dependencia lineal. Asegúrese de usar un método para probar la independencia de las nuevas matrices que permita la inexactitud numérica, tal vez comparando la norma de con la norma de , donde es la proyección en el espacio de matrices que ha encontrado antes . $A - p(A)$ $A$ $p$

— Erik P.
fuente

@EricP Gracias por el enlace, muy útil. Solo había visto las bases de P. Hall en el contexto de las álgebras de Lie libres, de las cuales no tengo un buen conocimiento, y me alegra saber que mi intuición acerca de deshacerme de las conmutaciones linealmente dependientes era correcta. La precisión numérica es algo que me preocupa mucho. ¿Quiere decir que debería comparar más bien la norma de p (A) con la norma de A? ¿Y que esto sería más estable que comparar la norma de Ap (A) con 0?

— Ian Hincks

@IanHincks: lo que quise decir fue comparar con , pero eso no se basó en ningún pensamiento particularmente profundo. Tendrás que experimentar. El mejor criterio numérico puede ser ver todas las matrices como -vectores y hacer una SVD dispersa de la matriz rectangular obtenida colocándolas una al lado de la otra, luego descartando el "vector" agregado al final si el valor singular más pequeño es muy pequeño. Pero eso será muy costoso computacionalmente. Primero vea si realmente lo necesita, y si es así, quizás primero haga una prueba barata.

‖ A - p (A) ‖

$\Vert A - p(A) \Vert$

‖ A ‖

$\Vert A \Vert$

R^{n^{2}}

$\mathbb{R}^{n^2}$

n^{2} \times k

$n^2 \times k$

— Erik P.