La convergencia de los solucionadores iterativos clásicos para sistemas lineales está determinada por el radio espectral de la matriz de iteración, . Para un sistema lineal general, es difícil determinar un parámetro SOR óptimo (o incluso bueno) debido a la dificultad para determinar el radio espectral de la matriz de iteración. A continuación, he incluido muchos detalles adicionales, incluido un ejemplo de un problema real en el que se conoce el peso óptimo de SOR.ρ ( G )
Radio espectral y convergencia
El radio espectral se define como el valor absoluto del valor propio de mayor magnitud. Un método convergerá si y un radio espectral más pequeño significa una convergencia más rápida. SOR funciona alterando la división de la matriz utilizada para derivar la matriz de iteración en función de la elección de un parámetro de ponderación ω , con suerte disminuyendo el radio espectral de la matriz de iteración resultante.ρ < 1ω
División de la matriz
Para la discusión a continuación, supondré que el sistema a resolver está dado por
A x = b ,
con una iteración de la forma
X( k + 1 )= v + G x( k ),
donde es un vector, y el número de iteración k se denota x ( k ) .vkX( k )
SOR toma un promedio ponderado de la iteración anterior y una iteración de Gauss-Seidel. El método Gauss-Seidel se basa en una división matricial de la forma
A = D + L + U
donde es la diagonal de A , L es una matriz triangular inferior que contiene todos los elementos de A estrictamente por debajo de la diagonal y R es una matriz triangular superior que contiene todos los elementos de A estrictamente por encima de la diagonal. La iteración de Gauss-Seidel viene dada porreUNALUNARUNA
X( k + 1 )= ( D + L )- 1b + GG - SX( k )
y la matriz de iteración es
solG - S=−(D+L)−1U.
SOR puede entonces escribirse como
x(k+1)=ω(D+ωL)−1b+GSORx(k)
dónde
solS O R= ( D + ω L )- 1( ( 1 - ω ) D - ω U ) .
ω
SOR óptimo
Un ejemplo realista donde se conoce el coeficiente de ponderación óptimo surge en el contexto de la resolución de una ecuación de Poisson:
∇2u = f i n Ω u = g o n ∂ Ω
Discretizar este sistema en un dominio cuadrado en 2D usando diferencias finitas de segundo orden con un espaciado de cuadrícula uniforme da como resultado una matriz simétrica con bandas con 4 en la diagonal, -1 inmediatamente arriba y debajo de la diagonal, y dos bandas más de -1 a cierta distancia del diagonal. Hay algunas diferencias debido a las condiciones de contorno, pero esa es la estructura básica. Dada esta matriz, la opción demostrablemente óptima para el coeficiente SOR viene dada por
ω = 21 + pecado( πΔ x / L )
Δ xL
Como puede ver, SOR alcanza la precisión de la máquina en aproximadamente 100 iteraciones, momento en el que Gauss-Seidel es aproximadamente 25 órdenes de magnitud peor. Si quieres jugar con este ejemplo, he incluido el código MATLAB que utilicé a continuación.
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%number of iterations:
niter = 150;
%number of grid points in each direction
N = 16;
% [x y] = ndgrid(linspace(0,1,N),linspace(0,1,N));
[x y] = ndgrid(linspace(-pi,pi,N),linspace(-pi,pi,N));
dx = x(2,1)-x(1,1);
L = x(N,1)-x(1,1);
%desired solution:
U = sin(x/2).*cos(y);
% Right hand side for the Poisson equation (computed from U to produce the
% desired known solution)
Ix = 2:N-1;
Iy = 2:N-1;
f = zeros(size(U));
f(Ix,Iy) = (-4*U(Ix,Iy)+U(Ix-1,Iy)+U(Ix+1,Iy)+U(Ix,Iy-1)+U(Ix,Iy+1));
figure(1)
clf
contourf(x,y,U,50,'linestyle','none')
title('True solution')
%initial guess (must match boundary conditions)
U0 = U;
U0(Ix,Iy) = rand(N-2);
%Gauss-Seidel iteration:
UGS = U0; EGS = zeros(1,niter);
for iter=1:niter
for iy=2:N-1
for ix=2:N-1
UGS(ix,iy) = -1/4*(f(ix,iy)-UGS(ix-1,iy)-UGS(ix+1,iy)-UGS(ix,iy-1)-UGS(ix,iy+1));
end
end
%error:
EGS(iter) = sum(sum((U-UGS).^2))/sum(sum(U.^2));
end
figure(2)
clf
contourf(x,y,UGS,50,'linestyle','none')
title(sprintf('Gauss-Seidel approximate solution, iteration %d', iter))
drawnow
%SOR iteration:
USOR = U0; ESOR = zeros(1,niter);
w = 2/(1+sin(pi*dx/L));
for iter=1:niter
for iy=2:N-1
for ix=2:N-1
USOR(ix,iy) = (1-w)*USOR(ix,iy)-w/4*(f(ix,iy)-USOR(ix-1,iy)-USOR(ix+1,iy)-USOR(ix,iy-1)-USOR(ix,iy+1));
end
end
%error:
ESOR(iter) = sum(sum((U-USOR).^2))/sum(sum(U.^2));
end
figure(4)
clf
contourf(x,y,USOR,50,'linestyle','none')
title(sprintf('Gauss-Seidel approximate solution, iteration %d', iter))
drawnow
figure(5)
clf
semilogy(EGS,'b')
hold on
semilogy(ESOR,'r')
title('L2 relative error')
xlabel('Iteration number')
legend('Gauss-Seidel','SOR','location','southwest')