Un método bastante simple sería elegir una base en el espacio de funciones y convertir la transformación integral en una matriz. Entonces puedes simplemente invertir la matriz.
Matemáticamente, así es como funciona: necesita un conjunto de funciones de base ortonormal . (Usted puede salirse sin que éstos se normalizaron también, pero es más fácil de explicar de esta manera.) Medios Ortonormales que el producto interno ⟨ T i , T j ⟩ = δ i j , dondeTyo( x )⟨Ti,Tj⟩=δij
⟨Ti,Tj⟩≡∫baW(x)Ti(x)Tj(x)dx=δij(1)
Aquí es alguna función de peso. Eso y los límites a y b están ligados a su elección de T i . Una vez que elija qué conjunto de funciones básicas usar, puede codificar los límites y la función de peso en su programa.W(x)abTi
Usando la ortonormalidad, puede expresar cualquier función, como y F ( y ) , como combinaciones lineales de estas funciones básicas:f(x)F(y)
f(x)=∑iciTi(x)F(y)=∑jCjTj(y)(2)
donde los coeficientes se calculan como
ciCj=⟨f,Ti⟩=∫baW(x)f(x)Ti(x)dx=⟨F,Tj⟩=∫baW(y)F(y)Tj(y)dy(3)(4)
Puede verificar que estas expresiones sean consistentes con las definiciones de los coeficientes, ec. (2), y la ortonormalidad, ec. (1)
Ahora, calcule la transformación de cada una de las funciones básicas; Digamos que es .T~i(y)
T~i(y)≡∫∞0yexp[−12(y2+x2)]I0(xy)Ti(x)dx
es una función, y por lo que se puede expresar como una combinación lineal de las funciones de base tal como lo hicimos conf(x)yF(y):T~i(y)f(x)F(y)
T~i(y)=∑kAikTk(y)
donde los elementos de la matriz se determinan de la misma manera que encontramos c i y C j arriba:AikciCj
Aik=⟨T~i,Tk⟩=∫baW(y)T~i(y)Tk(y)dy(5)
ikTi(x)W(x)
AikciCjf(x)F(y)
∑jCjTj(y)F(y)=∫∞0yexp[−12(y2+x2)]I0(xy)∑iciTi(x)f(x)dx=∑ici∫∞0yexp[−12(y2+x2)]I0(xy)Ti(x)dx=∑ici∑kAikTk(y)
CℓTℓ
⟨(∑jCjTj),Tℓ⟩∫baW(y)∑jCjTj(y)Tℓ(y)dy∑jCj∫baW(y)Tj(y)Tℓ(y)dy∑jCjδjℓCℓ=⟨(∑ici∑kAikTk),Tℓ⟩=∫baW(y)∑ici∑jAikTk(y)Tℓ(y)dy=∑ici∑kAik∫baW(y)Tk(y)Tℓ(y)dy=∑ici∑kAikδkℓ=∑iciAiℓ
ℓCj
CjciAijciAijCjF(y)
F(y)Cj
Cj=∑iciAij
A
ij1NNf(x)T1(x),…,TN(x)1MF(y)T1(y),…,TM(y)M=NMNNciAM×NA11ANM
[−1,1]TiW(x)=11−x2√a=−1b=1⟨Ti,Tj⟩=δijπ/2i=j≠0⟨T0,T0⟩=π