¿Métodos numéricos para invertir transformadas integrales?


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Estoy tratando de invertir numéricamente la siguiente transformación integral:

F(y)=0yexp[12(y2+x2)]I0(xy)f(x)dx

Entonces, para una dada , necesito aproximar f ( x ) donde:F(y)f(x)

  • y F ( y ) son reales y positivasf(x)F(y)(son distribuciones de probabilidad continuas)
  • son reales y positivosx,y(son magnitudes)

Tengo un método de fuerza bruta muy desordenado para hacer esto en este momento:

Defino y la spline sobre una serie de puntos, los valores de los puntos spiled se 'adivinan' por muestreo aleatorio, lo que produce un F ( y ) predicho . Un algoritmo genético básico que escribí minimiza la diferencia entre la matriz F ( y ) predicha y medida . Luego tomo la f ( x ) a la que converge el algoritmo como mi respuesta para la inversión.f(x)F(y)F(y)f(x)

Este enfoque funciona bastante bien para algunos casos simples, pero me parece desordenado y no particularmente robusto.

¿Alguien puede darme orientación sobre mejores formas de resolver este problema?

¡Gracias por su tiempo y ayuda!

[publicado en x en computercience]

Respuestas:


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Un método bastante simple sería elegir una base en el espacio de funciones y convertir la transformación integral en una matriz. Entonces puedes simplemente invertir la matriz.

Matemáticamente, así es como funciona: necesita un conjunto de funciones de base ortonormal . (Usted puede salirse sin que éstos se normalizaron también, pero es más fácil de explicar de esta manera.) Medios Ortonormales que el producto interno T i , T j= δ i j , dondeTi(x)Ti,Tj=δij

(1)Ti,TjabW(x)Ti(x)Tj(x)dx=δij

Aquí es alguna función de peso. Eso y los límites a y b están ligados a su elección de T i . Una vez que elija qué conjunto de funciones básicas usar, puede codificar los límites y la función de peso en su programa.W(x)abTi

Usando la ortonormalidad, puede expresar cualquier función, como y F ( y ) , como combinaciones lineales de estas funciones básicas:f(x)F(y)

(2)f(x)=iciTi(x)F(y)=jCjTj(y)

donde los coeficientes se calculan como

(3)ci=f,Ti=abW(x)f(x)Ti(x)dx(4)Cj=F,Tj=abW(y)F(y)Tj(y)dy

Puede verificar que estas expresiones sean consistentes con las definiciones de los coeficientes, ec. (2), y la ortonormalidad, ec. (1)

Ahora, calcule la transformación de cada una de las funciones básicas; Digamos que es .T~i(y)

T~i(y)0yexp[12(y2+x2)]I0(xy)Ti(x)dx

es una función, y por lo que se puede expresar como una combinación lineal de las funciones de base tal como lo hicimos conf(x)yF(y):T~i(y)f(x)F(y)

T~i(y)=kAikTk(y)

donde los elementos de la matriz se determinan de la misma manera que encontramos c i y C j arriba:AikciCj

(5)Aik=T~i,Tk=abW(y)T~i(y)Tk(y)dy

ikTi(x)W(x)

AikciCjf(x)F(y)

jCjTj(y)F(y)=0yexp[12(y2+x2)]I0(xy)iciTi(x)f(x)dx=ici0yexp[12(y2+x2)]I0(xy)Ti(x)dx=icikAikTk(y)

CT

(jCjTj),T=(icikAikTk),TabW(y)jCjTj(y)T(y)dy=abW(y)icijAikTk(y)T(y)dyjCjabW(y)Tj(y)T(y)dy=icikAikabW(y)Tk(y)T(y)dyjCjδj=icikAikδkC=iciAi

Cj

CjciAijciAijCjF(y)

F(y)Cj

Cj=iciAij

A

ij1NNf(x)T1(x),,TN(x)1MF(y)T1(y),,TM(y)M=NMNNciAM×NA11ANM

[1,1]TiW(x)=11x2a=1b=1Ti,Tj=δijπ/2i=j0T0,T0=π

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