Complejidad de las propiedades topológicas.

Soy un científico de la computación que toma un curso sobre topología (una pizca de topología de conjunto de puntos fuertemente aromatizada con la teoría del continuo). Me interesaron los problemas de decisión al probar una descripción de un espacio (por simplificaciones) para propiedades topológicas; los conservados hasta el homeomorfismo.

Se sabe, por ejemplo, que determinar el género de un nudo está en PSPACE y es NP-Hard. (Agol 2006; Hass, Lagarias, Pippenger 1999)

Otros resultados tienen más una sensación más general: AA Markov (hijo de la Markov) demostró en 1958 que las pruebas de dos espacios para un homeomorfismo de dimensiones o superior es indecidible (mostrando la indecisión para 4-variedades). Desafortunadamente, este último ejemplo no es un ejemplo perfecto de mi pregunta, ya que trata el problema de la homeomorfía en sí mismo en lugar de las propiedades preservadas bajo el homeomorfismo.$5$

Parece que hay una gran cantidad de trabajo en "topología de baja dimensión": teoría de nudos y gráficos. Definitivamente estoy interesado en los resultados de la topología de baja dimensión, pero estoy más interesado en los resultados generalizados (estos parecen ser raros).

Estoy más interesado en problemas que son NP-Hard en promedio, pero me siento alentado a enumerar problemas que no se sabe que son así.

¿Qué resultados se conocen sobre la complejidad computacional de las propiedades topológicas?

La topología computacional abarca un enorme cuerpo de investigación. Un resumen completo de cada resultado de complejidad sería imposible. Pero para darle una pequeña muestra, permítame ampliar su ejemplo.

En 1911, Max Dehn planteó el problema de la palabra para grupos finamente presentados : dada una cadena sobre el alfabeto generador, ¿representa el elemento de identidad? Un año después, Dehn describió un algoritmo para el problema verbal en grupos fundamentales de superficies orientables; De manera equivalente, Dehn describió cómo decidir si un ciclo dado en una superficie orientable dada es contractible. Implementado correctamente, el algoritmo de Dehn se ejecuta en tiempo . En el mismo artículo de 1912, Dehn opinó que "Resolver el problema verbal para todos los grupos puede ser tan imposible como resolver todos los problemas matemáticos".$O(n)$

En 1950, Turing demostró que el problema de la palabra en semigrupos finamente presentados es indecidible, por reducción del problema de detención (sorpresa, sorpresa).

Sobre la base del resultado de Turing, Markov demostró en 1951 que todas las propiedades no triviales de los semigrupos finamente presentados son indecidibles. Una propiedad de grupos no es trivial si algún grupo tiene la propiedad y otro grupo no. Los informáticos teóricos conocen el resultado similar sobre funciones parciales como el "Teorema de Rice".

En 1952, Novikov demostró que el problema de la palabra en un número finito presentan grupos es indecidible, demostrando de este modo que la intuición de Dehn era correcta. El mismo resultado fue demostrado independientemente por Boone en 1954 y Britton en 1958.

En 1955, Adyan demostró que cada propiedad no trivial de finitamente presentados- grupos es indecidible. El mismo resultado fue probado independientemente por Rabin en 1956. (Sí, ese Rabin).

Finalmente, en 1958, Markov describió algoritmos para construir complejos de células bidimensionales y múltiples de 4 dimensiones con cualquier grupo fundamental deseado, dada la presentación del grupo como entrada. Este resultado inmediatamente implica que una gran cantidad de problemas topológicos son indecidibles, incluidos los siguientes:

• ¿Es un ciclo dado en un complejo bidimensional dado contraíble? (Esta es la palabra problema).
• ¿Está un complejo de 2 dado simplemente conectado? ("¿Es este grupo trivial?")
• ¿Es un ciclo dado en un dado de 4 múltiples contraíble?
• ¿Se puede contraer un dado de 4 múltiples?
• ¿Es un homeomorfo de 4 múltiples dado a un 4-múltiple particular (construido por Markov)?
• ¿Es un homeomorfo dado de 5 colectores a la esfera de 5 (o cualquier otro colector fijo de 5 que elija)?
• ¿Es un complejo 6 dado un múltiple?

$G$$G$$\pi_1(S^3)$$G$$G$

Ryan Budney ha comenzado discusiones similares en MathOverFlow:

/mathpro/35946/how-expensive-is-knowledge-knots-links-3-and-4-manifold-algorithms

/mathpro/144158/what-is-the-state-of-the-art-for-algorithmic-knot-simplification/145927

y en Wikipedia:

http://en.wikipedia.org/wiki/Talk:Computational_topology