¿Qué problemas de SAT son fáciles?

¿Qué son las "regiones fáciles" para la satisfacción? En otras palabras, condiciones suficientes para que un solucionador de SAT pueda encontrar una tarea satisfactoria, suponiendo que exista.

Un ejemplo es cuando cada cláusula comparte variables con algunas otras cláusulas, debido a la prueba constructiva de LLL, ¿algún otro resultado en ese sentido?

Hay literatura considerable sobre regiones fáciles para la Propagación de creencias, ¿hay algo en ese sentido para la satisfacción?

Supongo que conoces el resultado clásico de Schaefer de STOC'78, pero por las dudas.

10.1145 / 800133.804350

Schaefer demostró que si SAT está parametrizado por un conjunto de relaciones permitidas en cualquier caso, entonces solo hay 6 casos manejables: 2-SAT (es decir, cada cláusula es binaria), Horn-SAT, dual-Horn-SAT, affine-SAT ( soluciones a ecuaciones lineales en GF (2)), 0-válido (relaciones satisfechas por la asignación all-0) y 1-válido (relaciones satisfechas por la asignación all-1).

No estoy seguro de si esto es lo que está buscando, pero hay una literatura considerable sobre la transición de la fase 3-SAT.

Monasson, Zecchina, Kirkpatrcik, Selman y Troyansky tenían un artículo en la naturaleza que habla sobre la transición de fase de k-SAT aleatorio. Utilizaron una parametrización de la razón de cláusulas a variables. Para el 3-SAT aleatorio, encontraron numéricamente que el punto de transición es alrededor de 4.3. Por encima de este punto, las instancias aleatorias de 3-SAT están demasiado restringidas y casi seguramente son inviables y, por debajo de este punto, los problemas están bajo restricciones y son satisfactorios (con alta probabilidad). Mertens, Mezard y Zecchina utilizan procedimientos de método de cavidad para estimar el punto de transición de fase a un mayor grado de precisión.

Lejos del punto crítico, los algoritmos "tontos" funcionan bien para instancias satisfactorias (walk sat, etc.). Por lo que entiendo, los tiempos de ejecución del solucionador determinista crecen exponencialmente en la transición de fase o cerca de ella (ver aquí para más información).

Primo cercano de la propagación de creencias, Braunstein, Mezard y Zecchina han introducido la propagación de encuestas que, según se informa, resuelve instancias satisfactorias de 3-SAT en millones de variables, incluso extremadamente cerca de la transición de fase. Mezard tiene una conferencia aquí sobre gafas giratorias (la teoría de la cual ha utilizado en el análisis de transiciones de fase NP-Completas aleatorias) y Maneva tiene una conferencia aquí sobre propagación de encuestas.

Desde la otra dirección, todavía parece que nuestros mejores solucionadores tardan una cantidad exponencial de tiempo para demostrar su insatisfacción. Vea aquí , aquí y aquí para obtener pruebas / discusión sobre la naturaleza exponencial de algunos métodos comunes para demostrar la insatisfacción (procedimientos de Davis-Putnam y métodos de resolución).

Hay que tener mucho cuidado con las afirmaciones de 'facilidad' o 'dureza' para problemas aleatorios de NP-Complete. Tener un problema NP-Complete muestra una transición de fase que no garantiza dónde están los problemas difíciles o si hay alguno. Por ejemplo, el problema del ciclo de Hamiltoniain en los gráficos aleatorios de Erdos-Renyi es demostrablemente fácil incluso en o cerca del punto crítico de transición. El problema de partición numérica no parece tener ningún algoritmo que lo resuelva bien en el rango de probabilidad 1 o 0, y mucho menos cerca del umbral crítico. Por lo que entiendo, los problemas aleatorios de 3-SAT tienen algoritmos que funcionan bien para instancias satisfactorias casi en o por debajo del umbral crítico (propagación de la encuesta, walk sat, etc.) pero no hay algoritmos eficientes por encima del umbral crítico para demostrar la insatisfacción.

Hay muchas condiciones suficientes. En cierto sentido, gran parte de la CS teórica se ha dedicado a la recopilación de estas condiciones: trazabilidad de parámetros fijos, 2-SAT, 3-SAT aleatorios de diferentes densidades, etc.

No existe un reconocimiento generalizado de este concepto hasta ahora en la literatura, pero el gráfico de cláusula del problema SAT (el gráfico con un nodo por cláusula y los nodos están conectados si las cláusulas comparten variables), así como otros gráficos relacionados de la representación SAT, parece tener muchas pistas básicas sobre cuán difícil será la instancia en promedio.

El gráfico de la cláusula se puede analizar a través de todo tipo de algoritmos teóricos de gráficos, es una medida aparentemente natural de "estructura" y con fuertes conexiones para medir / estimar la dureza, y parece que la investigación de esta estructura y sus implicaciones aún es muy temprana. etapas No es inconcebible que la investigación del punto de transición, una / la forma tradicional y bien estudiada de abordar esta cuestión, pueda incorporarse a esta estructura gráfica de cláusulas (hasta cierto punto, ya lo ha hecho). en otras palabras, se puede ver que el punto de transición en SAT existe "debido a" la estructura del gráfico de la cláusula.

Aquí hay una excelente referencia en este sentido, una tesis doctoral de Herwig, hay muchas otras.

[1] Descomponiendo problemas de satisfacción o Utilizando gráficos para obtener una mejor visión de los problemas de satisfacción , Herwig 2006 (83pp)

Es fácil mover todas las instancias cerca del punto de "transición" tan lejos del punto de "transición" como se desee. El movimiento implica un esfuerzo de tiempo / espacio polinómico.

Si las instancias lejos del punto de "transición" son más fáciles de resolver, entonces aquellas cercanas al punto de transición deben ser igualmente fáciles de resolver. (Transformaciones polinomiales y todo).

$\kappa$

encuentra una aparente estructura de auto-similitud fractal de instancias duras con el parámetro restrictor de modo que, como solucionador de DP (LL) durante la búsqueda, tiende a encontrar subproblemas con la misma restricción crítica, sin importar qué variable se elija al lado de la ramificación. Hay algunos análisis adicionales de la estructura fractal en las instancias SAT (como la dimensión de Hausdorff de las fórmulas SAT y la conexión a la dureza) en, por ejemplo, [2,3]

Otra línea de investigación algo interrelacionada aquí es la relación de los gráficos de mundo pequeño con la estructura SAT (dura), p. ej. [4,5]

$\stackrel{?}{=}$

[1] El límite del cuchillo de restricción por Toby Walsh 1998

[2] SIMILARIDAD DE LAS EXPRESIONES BOOLEAS SATISFIABLES DECIFERADAS EN TÉRMINOS DE SISTEMAS DE FUNCIONAMIENTO ITERADOS DIRIGIDOS GRÁFICOS por Ni y Wen

[3] Visualización de la estructura interna de las instancias SAT (Informe preliminar) Sinz

[4] Búsqueda en un mundo pequeño por Walsh 1999

[5] Modelando problemas SAT más realistas por Slater 2002