¿Cuántos bordes puede tener un gráfico unipático?

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Un gráfico unipático es un gráfico dirigido de tal manera que existe como máximo una ruta simple desde cualquier vértice a cualquier otro vértice.

Los gráficos unipáticos pueden tener ciclos. Por ejemplo, una lista doblemente vinculada (¡no circular!) Es un gráfico unipático; si la lista tiene elementos, el gráfico tiene ciclos de longitud 2, para un total de . $n$ $n-1$ $2(n-1)$

¿Cuál es el número máximo de aristas en un gráfico unipático con vértices? Un límite asintótico sería suficiente (por ejemplo, o ). $n$ $O(n)$ $\Theta(n^2)$

_{Inspirado por Buscar caminos más cortos en un gráfico unipathic pesado ; en mi prueba , inicialmente quería afirmar que el número de aristas era pero luego me di cuenta de que limitar el número de ciclos era suficiente. $O(n)$}

graphs combinatorics

— Gilles 'SO- deja de ser malvado'
fuente

Buena pregunta. Deberíamos intentar mejorar tu límite inferior o mi límite superior :).

— RB

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Un gráfico unipático puede tener aristas. Hay un tipo bien conocido de gráfico que es unipathic y tiene bordes. $\Theta(n^2)$ $n^2/4$

Considere un gráfico bipartito completo, con aristas orientadas . Este gráfico es antipático y no tiene ciclo: todas sus rutas tienen longitud . Tiene vértices y aristas. $\forall (i,j) \in [1,m]^2, a_i \rightarrow b_j$ $1$ $2m$ $m^2$

_{(Pregunta de seguimiento: ¿es esta relación máxima? Probablemente no, pero no tengo otro ejemplo. Este ejemplo es máximo en el sentido de que cualquier borde que agregue entre los nodos existentes romperá la propiedad antipática).}

— Gilles 'SO- deja de ser malvado'
fuente

"cualquier borde que agregue entre los nodos existentes romperá la propiedad unipática" ¿Cómo agregaría el borde

rompería la propiedad?

b_{1} \to a_{1}

$b_1 \rightarrow a_1$

— mitchus

@mitchus

a_{2} \to b_{1} \to a_{1} \to b_{2}

$a_2 \rightarrow b_1 \rightarrow a_1 \rightarrow b_2$

— Gilles 'SO- deja de ser malvado'

1

Supongo que mi mente era de alguna manera antipática ese día :) En cuanto a la maximidad, la relación puede ir a 1/4 para

grande , pero para

la lista doblemente enlazada tiene más aristas que

.

n

$n$

n \in {2, 3, 4, 5, 6}

$n \in \{2,3,4,5,6\}$

n^{2} / 4

$n^2/4$

— mitchus

0

No sé si hay un gráfico unipático en más de aristas, pero aquí hay un argumento que muestra que no más de $\frac{n^2}{4}$ Son posiblesbordes: $\frac{n^2}{2}+3$

Suponga por contradicción que es un gráfico unipático tal que $G=(V,E)$ . $|E|\geq \frac{n^2}{2}+3$

Por el principio del casillero, existe tal que $v\in V$

d_{in} (v) \geq \frac{n}{2} + 1

$d_{\text{in}}(v)\geq \frac{n}{2}+1$

Denote $U=\{u\in V\mid (u,v)\in E\}$

Observe que si hubiera un vértice tal que $x\in V\setminus \{v\}$

\exists u_{1} \neq u_{2} \in U : (x, u_{1}), (x, u_{2}) \in E

$\exists u_1\neq u_2\in U:(x,u_1),(x,u_2)\in E$

Entonces el gráfico no sería antipático (ya que y son rutas válidas). $(x\to u_1\to v)$ $(x\to u_2\to v)$

Esto significa que (agregando los bordes de ): $\{v\}\times U$

| E \cap (V \times U) | \leq 2 | U |

$|E\cap (V\times U)|\leq2|U|$

Entonces, el promedio en grados de vértices de es como máximo 2, por lo tanto: $U$

| E | = | E \cap (V \times U) | + | E \cap (V \times (V ∖ U)) |

$|E|=|E\cap (V\times U)|+|E\cap (V\times (V\setminus U))|$

\leq 2 | U | + n | V ∖ U | \leq 2 (\frac{n}{2} + 1) + n (\frac{n}{2} - 1) < \frac{n^{2}}{2} + 3

$\leq 2|U|+n|V\setminus U|\leq 2(\frac{n}{2}+1)+n(\frac{n}{2}-1)<\frac{n^2}{2}+3$

$\square$

— RB
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