Convolución de armónicos hemisféricos

Los armónicos esféricos (SH) son una forma de representar funciones esféricas de baja frecuencia con solo un puñado de coeficientes. Tienen algunas buenas propiedades matemáticas, por ejemplo, una convolución con una función de núcleo h (x) (que tiene simetría circular) se puede calcular como

$(h * f) ^ m_l = \ sqrt {\ frac {4 \ pi} {2l + 1}} h ^ 0_l f ^ m_l$

En el caso de una convolución con un lóbulo coseno para el rango 3 SH, esto resulta en una escala simple de las bandas con los factores

$[\ pi, \ frac {2 \ pi} {3}, \ frac {\ pi} {4}]$

En muchos casos, por ejemplo, luz incidente para un punto dado en una superficie opaca, no se necesita información esférica completa, ya que la mitad de la esfera es cero / indefinida / no utilizada de todos modos. Así nacieron los armónicos hemisféricos (HSH).

¿Cómo funciona la convolución con un núcleo arbitrario (con simetría circular) para HSH? ¿Se puede extender la convolución de SH o hay algún documento que entre en detalles sobre esto?

hemisphere

— David Kuri
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Escribes "núcleo arbitrario con simetría circular": ¿No significa eso que realmente solo necesitas la convolución con la parte de armónicos zonales (hemisféricos)? Si su eje de simetría es diferente, aún puede usarlo agregando rotaciones antes y después de la convolución zonal. La forma de realizar rotaciones se describe en el documento. La integración con la parte zonal (m = 0) debería ser comparativamente fácil. Sin embargo, como con los armónicos esféricos, no será analíticamente solucionable para funciones arbitrarias. Las cosas simples como los lóbulos coseno deberían funcionar bien (aunque todavía no lo he intentado).

— Wumpf

@Wumpf Tienes razón, eso es más o menos a lo que se reduce. Para SH, simplemente escalaría "cada banda de f por el término m = 0 correspondiente de [función del núcleo] h" (citando los trucos estúpidos de SH de Sloan). La pregunta es, ¿puedo hacer lo mismo para HSH?

— David Kuri

Esta respuesta trata de dar una breve descripción de algunos aspectos importantes. Dado que la definición de HSH es bastante compleja y no pude encontrar una descripción general de algunas funciones previamente evaluadas, no proporcioné ejemplos simplemente porque me tomaría demasiado tiempo en este momento.

Descripción del problema y fuerza bruta

Para determinar la convolución cualquiera con cualquier conjunto de funciones básicas y, por lo tanto, calcular los coeficientes, generalmente necesitamos calcular la integral sobre el dominio (= esfera para SH, hemisferio para HSH). Todo lo que necesitamos hacer para representar la función hemisférica f , que se define sobre los ángulos theta ("arriba / abajo") y phi ("izquierda / derecha"), a través de un coeficiente c para las funciones de base H de HSH es la siguiente:

$\ int_0 ^ {2 \ pi} \ int_0 ^ {\ frac {2} {\ pi}} f (\ theta, \ phi) \ cdot H_l ^ m (\ theta, \ phi) \ cdot sin (\ theta) \ , \, \ mathrm {d} \ theta \ mathrm {d} \ phi$

El pecado (theta) está ahí porque nos integramos sobre la superficie de una (hemi) esfera. Conceptualmente, el tamaño de un área que proviene de cambiar phi es mayor o menor en el theta actual. Más sobre esto aquí

Si no nos importa demasiado la precisión o el tiempo de cálculo, podemos resolver esto simplemente muestreando: Genere direcciones igualmente distribuidas (!) En el hemisferio, calcule el producto de fy H y promedie los resultados (si realmente ha distribuido equitativamente puntos no necesitas el pecado (theta) ).

Comience con una solución analítica

Por supuesto, nos encantaría tener una solución analítica para nuestra función, pero aquí es donde las cosas pueden ponerse muy difíciles. Como primer paso, es posible que necesitemos convertir una función que se da en direcciones cartesianas en coordenadas esféricas. Esta parte sigue siendo fácil, solo reemplace todas sus x, y y z de la siguiente manera:

$(x, y, z) \ rightarrow (\ sin \ theta \ cos \ phi, \ sin \ theta \ sin \ phi, \ cos \ theta)$

Tenga en cuenta que esto nos da un sistema donde el eje z es el "arriba" del hemisferio (theta = 0) que debería estar representado por el HSH. Después de eso, es posible que ya sea posible insertar todo en un sistema de álgebra de computadora y resolver la ecuación. No intente resolver todos los m & l, sino intente un coeficiente a la vez, ya que es poco probable que exista una expresión compacta que los describa a todos a la vez. La definición de HSH es relativamente compleja, lo que hace que sea muy tedioso evaluar estas funciones. En este artículo, las funciones de base HSH de cero y primer orden se mencionan en coordenadas cartesianas.

Notas sobre rotaciones y armónicos zonales

Las funciones que son simétricas rotacionales alrededor de este eje z son muy buenas candidatas para una derivación analítica exitosa, ya que solo afectan los coeficientes zonales , que son todos coeficientes con índice m igual a cero. Esto es especialmente útil para los armónicos esféricos más generales donde existe una fórmula fácil que permite rotar cualquier representación de armónicos esféricos zonales en una dirección arbitraria, lo que resulta en una representación de armónicos esféricos sin pérdida de datos (ver aquí) Esto significa que puede obtener coeficientes ZSH suponiendo que su "función radial simétrica apunta a z" y luego gírela en la dirección deseada. Esto funciona perfectamente, por ejemplo, con varias variaciones del lóbulo coseno y también le da los factores que mencionó en la pregunta.

Ahora las malas noticias: para HSH, cualquier rotación de una función alrededor de otro eje que z es con pérdida, ya que su función "tocará" el hemisferio indefinido inferior después de la rotación. Por lo tanto, tampoco existe una fórmula de rotación conveniente "Hemi Zonal a HSH". En cambio, hay múltiples formas de hacerlo con diferentes inconvenientes. Para más detalles ver el artículo y la presentación .

Por cierto: todo esto es más fácil con la base H , que también es hemisférica (pero originalmente solo se definió para un número limitado de bandas de frecuencia).

— Wumpf
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